|
|
| (17 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) |
| שורה 1: |
שורה 1: |
| − | *[[משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי|הסבר על חישוב הופכי ב <math>\mathbb{Z}_p</math>]]
| + | לפעמים אני מתיימר לטעון שאני דוקטורנט למתמטיקה. |
| | | | |
| | | | |
| − | ==שאלה 5==
| + | לפעמים אני טוען שאני לומד הצגות של מונואידים. (ההוכחה בנפנופי ידיים) |
| − | ===סעיף א===
| + | |
| − | | + | |
| − | דרך א' לפתרון:
| + | |
| − | | + | |
| − | היות ו <math>\arctan(\frac{y}{x})</math> היא פונקציה אי זוגית לפי <math>y</math> (או <math>x</math>) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל <math>y</math> (או <math>x</math>) אז האינטגרל הוא <math>0</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | דרך ב', חישוב:
| + | |
| − | | + | |
| − | זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.
| + | |
| − | | + | |
| − | אם מחליפים
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | אז נקבל שהתחום החדש הוא <math>a\leq r\leq b</math> ו <math>0\leq\theta \leq 2\pi</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש <math>\arctan(\frac{y}{x})=\theta</math>.
| + | |
| − | | + | |
| − | זה נכון רק כש <math>-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | בתחום <math>\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}</math> מתקיים דווקא <math>\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | | + | |
| − | ולכן נעדיף ש <math>\theta</math> יהיה בתחום <math>[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]</math> ולא <math>[0,2\pi]</math>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
| + | |
| − | =
| + | |
| − | \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
| + | |
| − | \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
| + | |
| − | </math>
| + | |
| − | | + | |
| − | <math>=
| + | |
| − | \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+
| + | |
| − | \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r
| + | |
| − | | + | |
| − | =
| + | |
| − | | + | |
| − | \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+
| + | |
| − | \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r
| + | |
| − | =0+0=0
| + | |
| − | </math>
| + | |
