שינויים

הוכחת למת ההחלפה של שטייניץהוכחה לטענה ש <math>A</math> הפיכה <math>\Leftrightarrow</math> ניתן להציג את <math>A</math> כמכפלת מטריצות אלמנטריות.

ניסוחשלב א': יהי  כל מטריצה אלמנטרית היא הפיכה ומתקיים  <math>V(\rho_{i,j})^{-1} = \rho_{i,j}</math> <math>(\rho_{k\cdot i})^{-1} = \rho_{{\frac{1}{k}}\cdot i}</math> <math>(\rho_{i+k\cdot j})^{-1} = \rho_{i-k\cdot j}</math>  שלב ב': הוכחת <math>\Rightarrow</math> מרחב וקטורי. ותהינה  אם <math>BA</math> קבוצה בת"ל ו היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות אז היא מכפלה של מטריצות הפיכות ולכן הפיכה. שלב ג': מטריצה <math>C</math> קבוצה פורשתבעלת שורת אפסים היא לא הפיכה.אזי כי לכל מטריצה <math>b \in B</math> קיים שהיא (נניח ש <math>ci</math> היא שורת האפסים) מתקיים לפי כפל שורה שורה <math>R_i(AB)=R_i(A)B=0 \in Cneq R_i(I)</math>. שלב ד': נתחיל להוכיח את <math>\Leftarrow</math>. אם <math>A</math> הפיכה, הצורה המדורגת קנונית שלה היא <math>I</math>. הסבר: נסמן את הצורה המדורגת קנונית של <math>A</math> ב <math>P</math>. קיימות מטריצות אלמנטריות <math>E_1,\ldots ,E_k</math> כך ש  <math>E_1\cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = P</math>. <math>P</math> הפיכה כי היא מכפלה של מטריצות הפיכות. אבל לצורה מדורגת של מטריצה ריבועית יש רק 2 אפשרויות. או שהיא <math>I</math> או שיש בה שורת אפסים. לכן <math>P=I</math>. (B מטריצה בעלת שורת אפסים היא לא הפיכה). שלב ה: סיום נותר רק לכפול משמאל את <math>E_1\backslash cdot E_2 \cdot \ldots \cdot E_k A = I</math>. ב <math>(E_k)^{b-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cup cdot \ldots \cdot (E_1)^{c-1} </math>. ולקבל <math>A = (E_k)^{-1}\cdot (E_{k-1})^{-1} \cdot \ldots \cdot (E_1)^{-1}</math> היא  היות והופכי של מטריצה אלמנטרית הוא גם קבוצה בת"למטריצה אלמנטרית. קיבלנו ש<math>A</math> היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות.--[[משתמש:איתמר שטיין|איתמר שטיין]] 20:44, 27 באוגוסט 2012 (IDT)