השינוי האחרון נעשה בֹ־28 בינואר 2013 ב־11:56

משתמש:איתמר שטיין

גרסה מ־11:56, 28 בינואר 2013 מאת איתמר שטיין (שיחה | תרומות) (←‏שאלה 1)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)

הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

שאלה 2

סעיף א

טענת עזר: אם $A,B$ קבוצות חסומות מלעיל אז

$\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$

הוכחה: נוכיח שהמספר $\sup(A)+\sup(B)$ מקיים את התכונות של $\sup(A+B)$

תכונה א': חסם מלעיל של $A+B$ . הוכחה:

אם $x\in A+B$ אז ניתן לכתוב $x=a+b$ כאשר $a\in A, b\in B$ .

היות ו $a\leq \sup(A)$ ו $b\leq \sup(B)$ מתקיים

$x=a+b\leq \sup(A)+\sup(B)$

תכונה ב': החסם המלעיל הכי קטן. הוכחה:

יהי $y$ איזשהוא חסם מלעיל של $A+B$

נניח בשלילה ש $y<\sup(A)+\sup(B)$

אז נקבל ש $y-\sup(B)<\sup(A)$

ולכן קיים $a\in A$ כך ש $y-\sup(B)<a$

מכאן נקבל $y-a<\sup(B)$

ולכן קיים $b\in B$ כך ש $y-a<b$

ולכן $y<a+b\in A+B$

בסתירה לכך ש $y$ חסם מלעיל של $A+B$

לכן בהכרח מתקיים $\sup(A)+\sup(B)\leq y$

לסיכום: הוכחנו שהמספר $\sup(A)+\sup(B)$ מקיים את שתי התכונות של חסם עליון

ולכן $\sup(A+B)=\sup(A)+\sup(B)$ . מש"ל טענת עזר.

עכשיו קל להוכיח את הדרוש:

$\sup(A+B+C)=\sup(A+B)+\sup(C)=\sup(A)+\sup(B)+\sup(C)$

מש"ל.

סעיף ב

הפרכה פשוטה, ניקח $a_n=-\frac{1}{n}$ ו $b_n=\frac{1}{n}$

מתקיים שלכל $n\in \mathbb{N}$ $a_n<b_n$ (ולכן בוודאי שזה מקיים כמעט לכל $n\in \mathbb{N}$ ).

אבל

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=0$

שתי הערות: א) כמעט לכל $n$ פירושו: לכל $n$ פרט למספר סופי של מקרים.

אן לחילופין: קיים $N\in \mathbb{N}$ כך שהטענה מתקיימת לכל $n>N$ .

ב) כמובן שהטענה הבאה נכונה

אם $a_n\leq b_n$ ו

$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a,\quad \lim_{n\rightarrow \infty}b_n=b$

אז

$a\leq b$ .