משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

שאלה 3

סעיף א

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}$

נשים לב שבסכום זה יש $n$ מחוברים. כאשר מספר המחוברים תלוי ב $n$ אי אפשר להשתמש באריתמטיקה של גבולות.

במקרה הזה נשתמש במשפט הסנדויץ.

נגדיר:

$b_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$

בגלל ש $n^2+1<n^2+i$ (כאשר $1\leq i\leq n$)

ברור ש

$\frac{1}{\sqrt{n^2+i}}\leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$

ולכן $a_n\leq b_n$

בצורה דומה נגדיר

$c_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} +\ldots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n}}=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}$

ויתקיים

$c_n\leq a_n$

$\lim_{n\rightarrow \infty} b_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1$

ו

$\lim_{n\rightarrow \infty} c_n = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} =\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1$

לכן לפי כלל הסנדויץ

$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=1$