משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

סעיף ב

נשים לב ש

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)$

זה ממוצע של הערכים

$f(x_1),\ldots , f(x_n)$

מבין הערכים האלה חייב להיות מינימום ומקסימום.

כלומר קיימים $i_0,i_1$ עבורם

$f(x_{i_0})=\min\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\},\quad f(x_{i_1})=\max\{f(x_1),\ldots , f(x_n)\}$

ואז נקבל

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\leq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_1}) = f(x_{i_1})$

ובאופן דומה

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_i)\geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(x_{i_0}) = f(x_{i_0})$

נניח בלי הגבלת כלליות ש $x_{i_0}<x_{i_1}$

ראינו שהערך $\sum_{i=1}^n f(x_i)$

נמצא בין $f(x_{i_0})$ ל $f(x_{i_1})$

וברור ש $f$ רציפה על $[x_{i_0},x_{i_1}]$

לכן לפי משפט ערך הביניים קיים

$c\in (x_{i_0},x_{i_2})\subseteq (a,b)$

כך ש:

$f(c)=\sum_{i=1}^n f(x_i)$

וזה מראה את מה שנדרש