משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

שאלה 1

סעיף א

עבור נקודות $(x,y,z)\neq (0,0,0)$ פשוט גוזרים את הפונקציה לפי $x$

$f_x(x,y,z)=\frac{zy\cos(xy){(x^2+y^2+z^2)}^\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(x^2+y^2+z^2)}^{-\frac{2}{3}}\cdot (2x)\cdot{(z\sin(xy))}}{{(x^2+y^2+z^2)}^\frac{2}{3}}$

עבור הנקודה $(x,y,z)=(0,0,0)$ קל לראות ש

$\lim_{t\rightarrow 0}\frac{f(t,0,0)-f(0,0,0)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{0-0}{t}=0$

סעיף ב

כמו שראינו בקלות ש $f_x(0,0,0)=0$ קל לראות שגם $f_y(0,0,0)=0$ ו $f_z(0,0,0)=0$.

ראשית נוודא ש $f$ רציפה (לא חייבים, אבל בדר"כ שווה לבדוק. כי אם היא לא רציפה אז ברור שהיא לא דיפרנציאבילית).

נשים לב ש

$|\frac{z\sin(xy)}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{1}{3}}}|\leq |\frac{z}{{(x^2+y^2+z^2)}^{\frac{1}{3}}}|\leq |\frac{z}{{(z^2)}^{\frac{1}{3}}}|=|z^{\frac{1}{3}}|\rightarrow 0$

ולכן $f$ רציפה.

נבדוק דיפרנציאביליות

צריך לבדוק אם $\epsilon (h_1,h_2,h_3)$ המוגדרת לפי:

$f(h_1,h_2,h_3)-f(0,0,0)=f_x(0,0,0)h_1+f_y(0,0,0)h_2+f_z(0,0,0)h_3+\epsilon(h_1,h_2,h_3)\sqrt{h_1^2+h_2^2+h_3^2}$

מתכנסת ל $0$ בנקודה $(0,0,0)$.

במקרה שלנו צריך לבדוק את:

$\lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3\sin (h_1 h_2)}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{1}{3}\cdot {(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^{\frac{1}{2}}} = \lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}\frac{\sin(h_1 h_2)}{h_1 h_2}$

היות ו

$\lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)} \frac{\sin(h_1 h_2)}{h_1 h_2} = 1$

נותר לבדוק את

$\lim_{(h_1,h_2,h_3)\rightarrow (0,0,0)}\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}$

נשים לב ש

$|\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2+h_3^2)}^\frac{5}{6}}|\leq |\frac{h_3 h_1 h_2}{{(h_1^2+h_2^2)}^\frac{5}{6}}| \leq |h_3||\frac{h_1 h_2}{{(2h_1 h_2)}^\frac{5}{6}}|= \frac{1}{2^{\frac{5}{6}}}|h_3||{(h_1 h_2)}^{\frac{1}{6}}|\rightarrow 0$

דרך אחרת (שימושית כאשר יש במכנה דברים בסגנון $||h||$):

עוברים לקוארדינטות כדוריות

$h_1 = r\cos \theta \sin \varphi,\quad h_2 = r\sin \theta \sin \varphi ,\quad h_3 = r \cos \varphi$

ואז צריך לחשב גבול

$\lim_{r\rightarrow 0}\frac {r^3 \cos \theta \sin \theta \sin ^2 \varphi \cos \varphi}{{(r^2)}^{\frac{5}{6}}} =\lim_{r\rightarrow 0} {r^{\frac{8}{6}} \cos \theta \sin \theta \sin ^2 \varphi \cos \varphi}=0$

ולכן $f$ דיפרנציאבילית ב $(0,0,0)$.

שאלה 3

$x^2+y^2=\frac{1}{2}z^2$

$x+y+z=2$

הנגזרות החלקיות של הפונקציות

$f_1(x,y,z)=x^2+y^2-\frac{1}{2}z^2=0$ $f_2(x,y,z)=x+y+z-2=0$

קיימות עד איזה סדר שרוצים.

כמו כן, הנקודה $(1,-1,2)$ מקיימת את מערכת המשוואות.

נבדוק את התנאי של משפט הפונקציה הסתומה

$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

בנקודה $(1,-1,2)$ נקבל את המטריצה

$\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

שהיא מטריצה הפיכה.

לכן לפי משפט הפונקציה הסתומה, אכן מוגדרות פונקציות של $x,y$ לפי $z$

לפי משפט הפונקציה הסתומה, קיימת סביבה של הנקודה

$(1,-1,2)$ שבה מתקיים:

$\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{dx}{dz} \\ \frac{dy}{dz} \end{bmatrix} = -\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial z} \\ \frac{\partial f_1}{\partial z} \end{bmatrix}$

כלומר במקרה שלנו:

$\begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{dx}{dz} \\ \frac{dy}{dz} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z \\ -1 \end{bmatrix}$

אם פותרים את המשוואות

רואים ש

$\begin{bmatrix} \frac{dx}{dz} \\ \frac{dy}{dz} \end{bmatrix} = \frac{1}{2x-2y} \begin{bmatrix} 1 & -2y \\ -1 & 2x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z \\ -1 \end{bmatrix}$

כלומר:

$\frac{dx}{dz} = \frac{z+2y}{2x-2y},\quad \frac{dy}{dz}=\frac{-z-2x}{2x-2y}$

מכאן, על ידי הצבה של $(1,-1,2)$ קל לראות שבנקודה $z=2$ מתקיים

$\frac{dx}{dz}(2)=0,\quad \frac{dy}{dz}(2)=-1$

כמו כן נחשב את $x''(z)$ בסביבה של $(1,-1,2)$ על ידי גזירה רגילה לפי $z$ (אבל נשים לב ש $x,y$ הם פונקציות של $z$):

$x''(z)=\frac{(1+2y')(2x-2y)-(z+2y)(2x'-2y')}{(2x-2y)^2}$

נציב $x=1,y=-1,z=2,x'=0,y'=-1$ ונקבל:

$x''(2)=\frac{(1-2)4-(0)(0+2)}{16}=-\frac{1}{4}$