משתמש:איתמר שטיין
הגרדיאנט הוא:
אם נשווה אותו ל ונקבל:
נקבל שאם או שתי המשוואות מתקיימות.
אם , נקבל שהמשוואות הן:
הפתרון של המערכת הזאת הוא:
ולכן כלל הנקודות הקריטיות הן:
עכשיו צריך לסווג
מטריצת ההסיאן היא:
\begin{bmatrix} 6xy^2-12x^2y^2-6xy^3 & 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 \\ 6x^2y-8x^3y-9x^2y^2 & 2x^3-2x^4-6x^3y \end{bmatrix}
כמובן שהצבה של או לא תקדם אותנו יותר מדי.
אם נציב נקבל (אם אין לי טעות חישוב):
\begin{bmatrix} \frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{9} & \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{9} & -\frac{1}{12} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}
המינור הראשון שלילי והמינור השני חיובי, לכן זו מטריצה שלילית (לחלוטין) ולכן זו נקודת מקסימום.
עכשיו צריך למיין ידנית את שאר הנקודות.
נתחיל בנקודות שעל ציר .
נביט על נקודה כלשהיא .
אם נתקדם לאורך הישר (שעובר כמובן ב ).
אז
אם אז הפונקציה שלנו שלילית כש וחיובית כש
אם אז הפונקציה שלנו חיובית כש ושלילית כש
בכל מקרה היא לא תהיה נקודת קיצון.
נותר לבדוק את הנקודה . נתקדם לאור הישר ונקבל ש