משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

שאלה 5

סעיף א

דרך א' לפתרון:

היות ו $\arctan(\frac{y}{x})$ היא פונקציה אי זוגית לפי $y$ (או $x$) והתחום שלנו סימטרי ביחס ל $y$ (או $x$) אז האינטגרל הוא $0$.

דרך ב', חישוב:

זה די ברור שצריך להשתמש בקוארדינטות פולריות.

אם מחליפים

$x=r\cos\theta\quad y = r\sin\theta$

אז נקבל שהתחום החדש הוא $a\leq r\leq b$ ו $0\leq\theta \leq 2\pi$

הבעיה היחידה היא זה לא נכון להגיד ש $\arctan(\frac{y}{x})=\theta$.

זה נכון רק כש $-\frac{\pi}{2}< \theta < \frac{\pi}{2}$

בתחום $\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{3\pi}{2}$ מתקיים דווקא $\theta = \arctan(\frac{y}{x}) +\pi$

ולכן נעדיף ש $\theta$ יהיה בתחום $[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$ ולא $[0,2\pi]$

$\iint\limits _K \, \arctan(\frac{y}{x}) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, \arctan(\frac{y}{x}) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r$

$= \int_a^b \, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \, \theta r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \, (\theta -\pi) r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r = \int_a^b \, \frac{1}{2} \theta^2 r \mid_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d}r+ \int_a^b \, \frac{1}{2} {(\theta-\pi)}^2 r \mid_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \mathrm{d}r =0+0=0$