משתמש:איתמר שטיין

• הסבר על חישוב הופכי ב $\mathbb{Z}_p$

שאלה 5

סעיף א

כמו תמיד בחישוב אינטגרל של ערך מוחלט, צריך לפצל לתחום שבו הפונקציה חיובית ותחום שבו היא שלילית.

במקרה שלנו $\cos(\theta)$ היא חיובית כאשר $0\leq\theta \leq \frac{\pi}{2}$ וכאשר $\frac{3\pi}{2} \leq\theta \leq 2\pi$ ושלילית כאשר $\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{3\pi}{2}$

כלומר

$\int _0 ^\pi \, \int_0^\pi \, |\cos(x+y)| \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y -\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y +\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$

האינטגרל הראשון הוא:

$\iint \limits_{0\leq x+y \leq \frac{\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x = \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{\pi}{2}-x} \mathrm{d}x$

$= \int _0 ^\frac{\pi}{2} \, 1 - \sin(x) \mathrm{d}x = x+\cos(x) \mid_0 ^\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 1$

באופן דומה האינטגרל השלישי הוא:

$\iint \limits_{\frac{3\pi}{2}\leq x+y \leq 2\pi } \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{3\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x$

$= \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+\pi) +1 \mathrm{d}x = -\cos(x+\pi)+x \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi} = -1+\pi - \frac{\pi}{2} = -1+ \frac{\pi}{2}$

את האינטגרל השני צריך לפצל

$\iint \limits_{\frac{\pi}{2}\leq x+y \leq \frac{3\pi}{2}} \, \cos(x+y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \int_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x+ \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \int_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \, \cos(x+y) \mathrm{d}y\mathrm{d}x$

$= \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+y) \mid_{\frac{\pi}{2}-x}^{\pi} \mathrm{d}x+ \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, \sin(x+y) \mid_0^{\frac{3\pi}{2}-x} \mathrm{d}x = \int _0 ^{\frac{\pi}{2}} \, \sin(x+\pi) - 1 \mathrm{d}x \int _\frac{\pi}{2} ^{\pi} \, -1 -\sin(x) \mathrm{d}x$

$= -\cos(x+\pi) - x \mid_0 ^{\frac{\pi}{2}}+ -x +\cos(x) \mid_\frac{\pi}{2} ^{\pi} = -\frac{\pi}{2}-1 -\pi -1 + \frac{\pi}{2} = -2-\pi$

לכן הפתרון בסך הכל הוא:

$\frac{\pi}{2}-1 +2+\pi +\frac{\pi}{2}-1=2\pi$