משתמש:איתמר שטיין/הסבר הופכי

כאשר אנו מבצעים חישובים בשדה $\mathbb{Z}_p$ (נזכור ש $p$ חייב להיות ראשוני), אנו נדרשים לפעמים לחשב הופכי לאיבר מסוים בשדה.

שיטה אחת לבצע זאת היא ע"י ניחוש, אם $a\in \mathbb{Z}_p$ אז יש $p$ איברים שיכולים להיות הופכי: $\{0,1,\ldots,p-1\}$

(למעשה יש פחות, כי $0$ לעולם לא יהיה הופכי ו $1$ הופכי רק ב$\mathbb{Z}_2$)

אפשר פשוט לנסות את כל האפשרויות עד שמוצאים הופכי.

שיטה זו טובה לשדות קטנים, אבל מה עושים אם רוצים למצוא הופכי ב $\mathbb{Z}_{101}$? בשיטה הזאת נצטרך לנסות 99 אפשרויות.

כדי להסביר איך מוצאים הופכי ב $\mathbb{Z}_p$ נצטרך להביא כמה הקדמות מתורת המספרים.

כמה מושגים בתורת המספרים

הגדרה: יהיו $a,b\in \mathbb{Z}$ אומרים ש $a$ מחלק את $b$ (ומסמנים $a|b$) אם קיים $c\in \mathbb{Z}$ כך ש $ac=b$.

הגדרה: יהיו $a,b\in \mathbb{Z}$ המחלק המשותף המירבי של $a,b$ (מסומן $gcd(a,b)$) הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את $a$ וגם את $b$.

כלומר $gcd(a,b)=max\{g\in \mathbb{Z}\mid g|a\quad g|b\}$

ההגדרה הזאת בעייתית כאשר $a=b=0$ במצב זה אומרים ש $gcd(0,0)=0$.