סיווג נקודה חשודה

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש


הגדרת נקודה חשודה

תהי f פונקציה ממשית. נקודה x בתחום ההגדרה של f נקראת חשודה אם f'(x)=0 או שהנגזרת אינה מוגדרת ב- x .

סיווג נקודות חשודות

משפט: תהי f פונקציה הגזירה ברציפות n+1 פעמים בסביבת הנקודה a . עוד נניח כי

\begin{align}f'(a)=f''(a)=\cdots=f^{(n)}(a)=0\\f^{(n+1)}(a)\ne0\end{align}

אזי:

הוכחה:

לפי טיילור לכל x בסביבה קיימת נקודה c בין x לבין a כך ש:

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\cdots+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

אבל לפי ההנחה כי n הנגזרות הראשונות מתאפסות ב- a , מתקיים

f(x)-f(a)=\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}

לכן, אם n+1 זוגי וגם f^{(n+1)}(a)>0 לפי רציפות הנגזרת השניה קיימת סביבת a בה f^{(n+1)}>0 ולכן לכל x בסביבה מתקיים:

f(x)-f(a)\ge0

שכן (x-a)^{(n+1)}\ge0 תמיד עבור n+1 זוגי.

כלומר אם f^{(n+1)}(a)>0 אזי x הנה נקודת מינימום.

באופן דומה, אם f^{(n+1)}(a)<0 אזי x הנה נקודת מקסימום.

אם n+1 אי-זוגי, אזי הסימן של (x-a)^{(n+1)} חיובי בסביבה ימנית של a ושלילי משמאלה.

כיון שסימן f^{(n+1)} קבוע בסביבת a , סה"כ מצד אחד f(x)>f(a) ומהצד השני f(x)<f(a) .

אבל הנגזרת הראשונה מתאפסת ב- a ולכן המשיק הוא y=f(a) , ולכן הפונקציה קטנה ממנו בצד אחד וגדולה ממנו בצד השני ולכן a הנה נקודת פיתול.