פולינום טיילור

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כיון שכפל וחיבור הן פעולות שקל לחשבן, פולינומים הן פונקציות שקל לחשבן את ערכן בכל נקודה. לכן, בהנתן פונקציה כללית f , היינו שמחים למצוא פולינום קרוב אליה. כלומר, היינו רוצים למצוא פולינום p כך שהשארית

R(x)=f(x)-p(x)

תהא "מינימלית". שימו לב כי הגדרת המינימליות תלויה בצורך. לדוגמא, יתכן ונרצה כי השארית תהא חסומה על כל הממשיים או תשאף לאפס בנקודה מסויימת.

פולינום טיילור

פולינום טיילור סביב נקודה a מדרגה n הנו פולינום מהצורה:

P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k

כאשר f^{(n)} היא הנגזרת ה- n של f .


שימו לב שבאופן ברור מההגדרה קיום פולינום טיילור מדרגה n דורש שהפונקציה תהא גזירה לפחות n פעמים בנקודה a . אנחנו נראה מיד שעל-מנת להעריך את השגיאה של הפולינום נדרוש כי הפונקציה תהא גזירה לפחות n+1 פעמים באזור הנקודה a .

פולינום טיילור משמש לקירוב פונקציות מסיבות שנראה בהמשך (טור חזקות), ובזכות משפט טיילור עם שארית לגראנז'