הצגת המקור של פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9

<u>'''למה:'''</u> יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:

יהי <math>T:v\to v</math> אופרטור לינארי כך ש- <math>p_T (x) = (x-\lambda)^m </math> (עבור <math>m</math> טבעי כלשהוא), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.



<u>'''הוכחה-'''</u> נניח בשלילה של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.

כעת, תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית <math>F</math> (אני מוכיח טענה מעט חלשה מדי, אבל זה בסדר כי בשאלה נתון שדה המרוכבים, שסגור אלגברית ).

יהי <math>B= \left \{ {v_1,...,v_n} \right \}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. ידוע מלינארית 1 שהמטריצה <math>A</math> היא מטריצה מייצגת של הט"ל <math>A</math>. צורת ז'ורדן של הע"ל T מוגדרת כצורת ז'ורדן של מטריצה מייצגת כלשהי של T, ולכן מספיק להוכיח יחידות של צורת ז'ורדן עבור ההע"ל A, ונקבל יחידות עבור המטריצה A.

יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום.
אזי <math>[T]_b=\begin{pmatrix}
A_\lambda  & \\ 
 & A'
\end{pmatrix}=A_\lambda\oplus A'</math>, כאשר <math>A_\lambda</math> היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, ואילו <math>A'</math> היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה <math>J_m(\mu), \mu \neq \lambda</math>.

יהי k הר"א של <math>\lambda</math>, אזי <math>A_\lambda</math> היא מסדר <math>k \times k</math>, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)

ידוע שמתקיים <math>A_\lambda=[T]_{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}</math>, כאשר <math>span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}</math> אינווריאנטי תחת <math>T</math>.

לכן, <math>A_\lambda</math> היא צורת ז'ורדן של האופרטור <math>T|_{span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}}</math>, והפ"א שלו הוא חזקה של <math>x-\lambda</math>. לפי הלמה, מספר הבלוקים <math>J_m(\lambda)</math> מכל גודל <math>m</math> נקבע באופן יחיד ע"י <math>T</math>.

לכן צורת ז'ורדן של הע"ל <math>T</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים, ולכן בפרט צורת ז'ורדן של ההע"ל <math>A</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
<math>\blacksquare </math>