הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון לינארית 2, אונ' עברית, תשס"ה, מועד א, שאלה 9"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ
 
שורה 1: שורה 1:
למה- יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:  
+
<u>'''למה:'''</u> יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:
ניסוח- יהי <math>T:v->v</math> אופרטור שהפ"א שלו הוא חזקה של <math>x-\lambda</math>, אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
+
הוכחה- בשלילה, נניח של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.
+
  
כעת, תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית <math>F</math> (אני מוכיח טענה מעט חלשה מדי, אבל זה בסדר כי בשאלה נתון שדה המרוכבים, שסגור אלגברית ). יהי <math>B= \left \{ {v_1,...,v_n} \right \}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. ידוע מלינארית 1 שהמטריצה <math>A</math> היא מטריצה מייצגת של הט"ל <math>A</math>. צורת ז'ורדן של הע"ל T מוגדרת כצורת ז'ורדן של מטריצה מייצגת כלשהי של T, ולכן מספיק להוכיח יחידות של צורת ז'ורדן עבור ההע"ל A, ונקבל יחידות עבור המטריצה A.
+
יהי <math>T:v\to v</math> אופרטור לינארי כך ש- <math>p_T (x) = (x-\lambda)^m </math> (עבור <math>m</math> טבעי כלשהוא), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
<u>'''הוכחה-'''</u> נניח בשלילה של-<math>T</math> יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור <math>T-\lambda I</math>, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.
 +
 
 +
כעת, תהי <math>A</math> מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית <math>F</math> (אני מוכיח טענה מעט חלשה מדי, אבל זה בסדר כי בשאלה נתון שדה המרוכבים, שסגור אלגברית ).
 +
 
 +
יהי <math>B= \left \{ {v_1,...,v_n} \right \}</math> בסיס של <math>F^n</math>, המז'רדן את הט"ל <math>A:F^n->F^n</math> המוגדרת ע"י <math>A(v)=Av</math>. ידוע מלינארית 1 שהמטריצה <math>A</math> היא מטריצה מייצגת של הט"ל <math>A</math>. צורת ז'ורדן של הע"ל T מוגדרת כצורת ז'ורדן של מטריצה מייצגת כלשהי של T, ולכן מספיק להוכיח יחידות של צורת ז'ורדן עבור ההע"ל A, ונקבל יחידות עבור המטריצה A.
  
 
יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום.
 
יהי <math>\lambda</math> ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- <math>\lambda</math>, כלומר מהצורה <math>J_m(\lambda)</math>, יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-<math>\lambda</math> יהיו הראשונים בסכום.
שורה 13: שורה 19:
 
יהי k הר"א של <math>\lambda</math>, אזי <math>A_\lambda</math> היא מסדר <math>k \times k</math>, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)
 
יהי k הר"א של <math>\lambda</math>, אזי <math>A_\lambda</math> היא מסדר <math>k \times k</math>, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)
  
ידוע שמתקיים <math>A_\lambda=[T]_{\left \{ v1,...,vk \right \}}</math>, כאשר <math>span{\left \{ v1,...,vk \right \}}</math> אינווריאנטי תחת <math>T</math>.
+
ידוע שמתקיים <math>A_\lambda=[T]_{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}</math>, כאשר <math>span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}</math> אינווריאנטי תחת <math>T</math>.
  
לכן, <math>A_\lambda</math> היא צורת ז'ורדן של האופרטור <math>T|_{span{\left \{ v1,...,vk \right \}}}</math>, והפ"א שלו הוא חזקה של <math>x-\lambda</math>. לפי הלמה, מספר הבלוקים <math>J_m(\lambda)</math> מכל גודל <math>m</math> נקבע באופן יחיד ע"י <math>T</math>.
+
לכן, <math>A_\lambda</math> היא צורת ז'ורדן של האופרטור <math>T|_{span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}}</math>, והפ"א שלו הוא חזקה של <math>x-\lambda</math>. לפי הלמה, מספר הבלוקים <math>J_m(\lambda)</math> מכל גודל <math>m</math> נקבע באופן יחיד ע"י <math>T</math>.
  
 
לכן צורת ז'ורדן של הע"ל <math>T</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים, ולכן בפרט צורת ז'ורדן של ההע"ל <math>A</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
 
לכן צורת ז'ורדן של הע"ל <math>T</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים, ולכן בפרט צורת ז'ורדן של ההע"ל <math>A</math> היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.
 
<math>\blacksquare </math>
 
<math>\blacksquare </math>

גרסה אחרונה מ־17:38, 31 בינואר 2015

למה: יחידות צורת ז'ורדן עבור אופרטור בעל ע"ע יחיד:

יהי T:v\to v אופרטור לינארי כך ש- p_T (x) = (x-\lambda)^m (עבור m טבעי כלשהוא), אזי צורת ז'ורדן של T יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים.


הוכחה- נניח בשלילה של-T יש הצגה אחרת, אבל אז נקבל הצגה אחרת גם לאופרטור T-\lambda I, שידוע שהוא נילפוטנטי, בסתירה ליחידות במשפט ז'ורדן הנילפוטנטי.

כעת, תהי A מטריצה ריבועית מעל שדה סגור אלגברית F (אני מוכיח טענה מעט חלשה מדי, אבל זה בסדר כי בשאלה נתון שדה המרוכבים, שסגור אלגברית ).

יהי B= \left \{ {v_1,...,v_n} \right \} בסיס של F^n, המז'רדן את הט"ל A:F^n->F^n המוגדרת ע"י A(v)=Av. ידוע מלינארית 1 שהמטריצה A היא מטריצה מייצגת של הט"ל A. צורת ז'ורדן של הע"ל T מוגדרת כצורת ז'ורדן של מטריצה מייצגת כלשהי של T, ולכן מספיק להוכיח יחידות של צורת ז'ורדן עבור ההע"ל A, ונקבל יחידות עבור המטריצה A.

יהי \lambda ע"ע של T. נשנה את סדר איברי B, כך שסדר הבלוקים יהיה כזה שכל הבלוקים המתאימים ל- \lambda, כלומר מהצורה J_m(\lambda), יהיו בחלק השמאלי-עליון של הסכום הישר; בניסוח יותר מדוייק, אם נציג את צורת ז'ורדן כסכום ישר של בלוקי ז'ורדן, אז הבלוקים המתאימים ל-\lambda יהיו הראשונים בסכום. אזי [T]_b=\begin{pmatrix}
A_\lambda  & \\ 
 & A'
\end{pmatrix}=A_\lambda\oplus A', כאשר A_\lambda היא המטריצה האלכסונית-בלוקים של כל הבלוקים מהצורה J_m(\lambda), ואילו A' היא סכום ישר של בלוקי ז'ורדן מהצורה J_m(\mu), \mu \neq \lambda.

יהי k הר"א של \lambda, אזי A_\lambda היא מסדר k \times k, ולכן גודלה נקבע חד-ערכית ע"י T, ולכן ע"י A (שכן T נקבעת חד-ערכית ע"י A)

ידוע שמתקיים A_\lambda=[T]_{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}, כאשר span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}} אינווריאנטי תחת T.

לכן, A_\lambda היא צורת ז'ורדן של האופרטור T|_{span{\left \{ v_1,...,v_k \right \}}}, והפ"א שלו הוא חזקה של x-\lambda. לפי הלמה, מספר הבלוקים J_m(\lambda) מכל גודל m נקבע באופן יחיד ע"י T.

לכן צורת ז'ורדן של הע"ל T היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים, ולכן בפרט צורת ז'ורדן של ההע"ל A היא יחידה עד כדי שינוי סדר הבלוקים. \blacksquare