פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תרגיל 1

1.7

A =\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} הפולינום האופייני הינו f_A(\lambda)=|\lambda I-A|=|\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}|=|\begin{bmatrix} \lambda-1 & -1 \\ 1 & \lambda-1 \end{bmatrix}|=(\lambda-1)^2+1

אבל זה ביטוי שתמיד גדול מאפס ולכן לא קיים \lambda שמאפס את הפולינום האופייני. כלומר לא קיימים ערכים עצמיים.

1.9

תוצאת המכפלה B\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix} היא וקטור שהעמודה הi שלו היא סכום השורה הi של B. השורות של A^t הינן העמודות של A ולכן A\cdot\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix} כי הרי סכום כל עמודה של A הוא אחד. לכן הוקטור העצמי הוא \begin{bmatrix}1\\1\\1\\ \vdots \\1\end{bmatrix} והערך העצמי הוא 1

1.15

  • א. A ניליפוטנטית מסדר k לכן A^{k-1}\neq 0 וגם A^k=0. נניח \lambda ע"ע של A. לכן Av=\lambda v עבור איזה v\neq 0. נכפול בA^{k-1} לקבל 0=A^kv=\lambda^kv אבל v\neq 0 לכן \lambda=0. אפס חייב להיות ערך עצמי של A מכיוון שאפס הוא ע"ע של כל מטריצה לא הפיכה (ובוודאי ניליפוטנטית לא הפיכה). בסיכום, 0 ע"ע של A והוא יחיד.
  • ב. \alpha I - A הפיכה אם"ם |\alpha I - A|\neq 0 אם"ם \alpha לא ע"ע של A אם"ם (לפי א') \alpha\neq 0.
  • ג. \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^{j+1}}A^j \cdot (\alpha I - A) = \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^j}A^j - \sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{\alpha^{j+1}}A^{j+1} = A^0-A^k=I

2.5

  • א. עמודות P מהוות בסיס ולכן בת"ל ולכן P הפיכה.
  • ב. D=P^{-1}AP.

C_i(D)=P^{-1}C_i(AP).

C_i(AP)=AC_i(P).

אבל עמודות P הן וקטורים עצמיים של A. לכן AC_i(P)=\lambda_iC_i(P)

I=P^{-1}P

C_i(I)=P^{-1}C_i(P)

בסיכום:

C_i(D)=P^{-1}\lambda_iC_i(P)=\lambda_iC_i(I)

ובמילים, D אלכסונית

2.7

א.

A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix}

קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של A:

-f_A=|A-\lambda I|=| \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}|= |\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}|=(\lambda-2)^2(\lambda-6)

כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של A. המרחב העצמי של \lambda שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית (A-\lambda I)v=0. בסיס למרחב הפתרונות של (A-2I)v=0 הינו \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} ובסיס למרחב הפתרונות של (A-6I)v=0 הינו \{(1,2,1)\}.

חישבנו בסיסים של המרחבים העצמיים, סכום מימדי הבסיסים הינו 3 ולכן יש בסיס למרחב כולו המורכב מוקטורים עצמיים של A:

B=\{(-1,1,0),(-1,0,1),(1,2,1)\}

נשים את וקטורי הבסיס הזה בעמודות לקבל את המטריצה P=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}

P^{-1}=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} -2 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}

ועל מנת ללכסן את המטריצה אנחנו צריכים לבצע את הכפל הבא: D=P^{-1}AP לקבל -

\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{bmatrix}

ב.

\frac{1}{2^{21}}A^{21}= \frac{1}{2^{21}}(PDP^{-1})^{21}=P\frac{1}{2^{21}}D^{21}P^{-1}=P\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3^{21} \end{bmatrix}P^{-1}