פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 2

תרגיל 2

תרגיל 2.14

הראנו בתרגיל 1.10 ש $(1,\phi,\phi^2,\cdots,\phi^{n-1})$ הוא וקטור עצמי עבור $\phi$ שורש יחידה מסדר $n$. נרצה להוכיח שעבור $n$ שורשי היחידה השונים מתקבלים $n$ וקטורים עצמיים שונים ובת"ל. נמקם את הוקטורים האלה בשורה ונקבל מטריצת ונדרמונדה. הדטרמיננטה של מטריצה זו היא $\det(A) = \prod_{1\le i<j\le n} (\phi_j-\phi_i).$. מכיוון ששורשי היחידה שונים זה מזה, $det(A)\neq 0$ כלומר הוקטורים העצמיים בת"ל. ולכן הם פורסים מרחב ממימד $n$ ולכן המטריצה לכסינה.

חישוב הדטרמיננטה של מטריצת ונדרמונדה

$V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \dots & \alpha_n^{n-1}\\ \end{bmatrix}$

• לפי האלגוריתם בספר, נחסיר מכל עמודה את העמודה הקודמת כפול $\alpha_1$ לקבל:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 - \alpha_1 \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} - \alpha_1 \alpha_2^{n-2}\\ 1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3^2 - \alpha_1 \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} - \alpha_1 \alpha_3^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n^2 -\alpha_1 \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} - \alpha_1 \alpha_n^{n-2}\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2 - \alpha_1) & \dots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2 - \alpha_1)\\ 1 & \alpha_3- \alpha_1 & \alpha_3(\alpha_3- \alpha_1) & \dots & \alpha_3^{n-2}(\alpha_3- \alpha_1)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_n - \alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n - \alpha_1) & \dots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n - \alpha_1)\\ \end{bmatrix}$

• נחשב את הדטרמיננטה לפי השורה הראשונה לקבל $det(V)=det(V_{11})$.
• ב $V_{11}$ נחלק כל שורה $i$ ב $\alpha_i- \alpha_1$ ונמשיך באינדוקציה.

תרגילים נוספים

הורד קובץ