פתרונות לקורס לינארית 2 לתיכוניסטים תש"ע - תרגיל 5

תרגיל 5

שאלה 1.4

א. זכרו שהמכפלה הפנימית הסטנדרטית מעל הממשיים היא $<v,w>=v^tw$ ובמקרה זה $<(1,2,3),(-1,-2,-3)>=1\cdot (-1)+2\cdot (-2)+3\cdot (-3)=-14$

ב. $A=\begin{bmatrix}1 & i \\ i & 2\end{bmatrix}$, $B=\begin{bmatrix}2 & -i \\ i & 3\end{bmatrix}$

$B^*=\overline{B^t}=\begin{bmatrix}2 & i \\ -i & 3\end{bmatrix}$

$AB^*=\begin{bmatrix}3 & 4i \\ 0 & 5\end{bmatrix}$

$<A,B>=tr(AB^*)=8$

ג. $\int_0^1f(x)g(x)dx=\int_0^1(x^2+2x+3)(x-2)dx\int_0^1(x^3+2x^2+3x -2x^2 -4x -6)dx=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{2}x^2-6x\vert_0^1=-6\frac{1}{4}$

שאלה 1.5

מכפלה פנימית חייבת לקיים את התכונה $<v,v>=0 \iff v=0$. ניקח לדוגמא $<(3,3),(3,3)>=(3-3)\overline{(3-3)}=0$ אבל כמובן $(3,3)\neq 0$

שאלה 1.9

ב. $[A]_{ij}=<v_i,v_j>=\overline{<v_j,v_i>}=[\overline{A^t}]_{ij}=[A^*]_{ij}$.

$[A]_{ii}=<v_i,v_i>\geq 0$ (אי שליליות)

ג.

ניקח $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$. ויוצא ש$<(1,0),(1,0)>=0$ אבל $(1,0)\neq 0$ בסתירה לתכונות המכפלה.

שאלה 4.11

א. נניח $B=\{v_1,...,v_n\}$ בא"נ. יהיה וקטור $v$ אזי יש הצגה $v=\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n$.

לכן $<v,v_i>=<\alpha_1 v_1 + ... + \alpha_n v_n,v_i> = \alpha_1<v_1,v_i>+...+\alpha_n<v_n,v_i>$.

אבל $B$ בא"נ ולכן $><v_j,v_i>=0$ עבור $i\neq j$ וכמו כן $<v_i,v_i>=1$ ולכן בסיכום:

$<v,v_i>=\alpha_i<v_i,v_i>=\alpha_i$

שאלה 1/2 4.12

נניח $P$ אוניטרית, לכן $PP^*=I$. נזכר ש$P^*=\overline{P^t}$ ולכן

$[PP^*]_{ij}=R_i(P)C_j(P^*)=R_i(P)\overline{R_j(P)}^t=<R_i(P),R_j(P)>$

נובע מזה ששורות $P$ מהוות בא"נ אם"ם $PP^*=I$.

כעת, $I=I^t=(PP^*)^t=\overline{P}P^t=(P^t)^*P^t$ ולכן $P$ אוניטרית אם"ם $P^t$ אוניטרית.

ולפי מה שראינו $P^t$ אוניטרית אם"ם שורותיה הם בא"נ, אבל אלה בדיוק עמודות $P$

שאלה 4.22 ב'

$B=\{v_1=(4,-3,2,1),v_2=(3,-2,1,0),v_3=(2,-1,0,0),v_4=(1,0,0,0)\}$

$w_1=v_1=(4,-3,2,1)$

$w_2=v_2-\frac{<v_2,w_1>}{||w_1||^2}w_1=(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3})$

$w_3=v_3-\frac{<v_3,w_1>}{||w_1||^2}w_1-\frac{<v_3,w_2>}{||w_2||^2}w_2=(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10})$

$w_4=v_4-\frac{<v_4,w_1>}{||w_1||^2}w_1-\frac{<v_4,w_2>}{||w_2||^2}w_2-\frac{<v_4,w_3>}{||w_3||^2}w_3=(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)$

ועכשיו נותר לנרמל את הוקטורים על מנת לקבל בסיס אורתונורמלי: $\{\frac{1}{\sqrt{30}}(4,-3,2,1),\sqrt{\frac{3}{2}}(\frac{1}{3},0,-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}),\sqrt{\frac{10}{3}}(\frac{1}{5},\frac{1}{10},-\frac{2}{5},\frac{3}{10}),\sqrt{6}(\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{6},0)\}$