Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "טענה: $ \forall n\in \mathbb{N} \forall x>-1 : (1+x)^n\geq 1+nx $ הוכחה באינדוקציה: עבור $n=1 $ נקבל ש- $1+x\geq 1+x$ שזה כמו...") |
מ (2 גרסאות יובאו) |
||
| (גרסת ביניים אחת של משתמש אחר אחד אינה מוצגת) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | \begin{thm} | |
| − | + | $$ \forall n\in \mathbb{N} \forall x>-1 : (1+x)^n\geq 1+nx $$ | |
| − | + | \end{thm} | |
| − | + | \begin{proof} | |
| − | $(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx^2=1+(n+1)x+nx^2\geq 1+(n+1)x $ | + | באינדוקציה: עבור $n=1 $ נקבל ש- $1+x\geq 1+x$ שזה כמובן נכון. נניח שהטענה נכונה עבור $n$ כללי ונראה שעבור $n+1$ מתקיים |
| + | $$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx^2=$$ | ||
| + | $$1+(n+1)x+nx^2\geq 1+(n+1)x $$ | ||
| + | \end{proof} | ||
גרסה אחרונה מ־20:15, 4 באוקטובר 2014
\begin{thm} $$ \forall n\in \mathbb{N} \forall x>-1 : (1+x)^n\geq 1+nx $$ \end{thm} \begin{proof} באינדוקציה: עבור $n=1 $ נקבל ש- $1+x\geq 1+x$ שזה כמובן נכון. נניח שהטענה נכונה עבור $n$ כללי ונראה שעבור $n+1$ מתקיים $$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x) \geq (1+nx)(1+x)=1+nx+x+nx^2=$$ $$1+(n+1)x+nx^2\geq 1+(n+1)x $$ \end{proof}