\begin{thm}
נניח $x_n\to L$ אזי
\begin{enumerate}
\item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$
1. \item לכל $p<q>L$ קיים $n_1 n_2 $ כך ש- $n>n_1 n_2 \Rightarrow x_n>p<q$\end{enumerate}\end{thm}
2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$begin{proof}
הוכחה:אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.
אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_end{n\to \inftyproof} x_n = L $ את $\epsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\epsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.
$\\$\underlinebegin{מסקנה 1:cor} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $\end{cor}
\
underlinebegin{
הוכחה:proof} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:
$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $
$ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ .
\end{proof}$\\$\underlinebegin{מסקנה 2: cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש}. ]כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$\end{cor}
\underlinebegin{הוכחה:proof} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון.$\\$\underlineend{מסקנה 3: גבול סדרה הוא יחידproof}. כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $
\underlinebegin{הוכחה:cor} [גבול סדרה הוא יחיד]כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $\end{cor} \begin{proof}$x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $\end{proof}