הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אי שיוויונים של גבולות (סדרות)"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
(יצירת דף עם התוכן "נניח $x_n\to L$ אזי 1. לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$ 2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q...")
 
שורה 1: שורה 1:
 +
\begin{thm}
 
נניח $x_n\to L$ אזי
 
נניח $x_n\to L$ אזי
 +
\begin{enumerate}
 +
\item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$
  
−
1. לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$
+
\item לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$
 +
\end{enumerate}
 +
\end{thm}
  
−
2. לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$
+
\begin{proof}
  
−
הוכחה:
+
אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.
  
−
אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\epsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\epsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.
+
\end{proof}
  
−
$\\$
+
\begin{cor}
−
\underline{מסקנה 1:} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $
+
אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $
 +
\end{cor}
  
−
\underline{הוכחה:} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:
+
\begin{proof}
−
$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ .
+
אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:
 +
$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n<p , \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: y_n>p $$
 +
ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ .
 +
\end{proof}
  
−
$\\$
+
\begin{cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש]
−
\underline{מסקנה 2: גבול שומר אי שיוויון חלש}. כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$
+
כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$
 +
\end{cor}
  
−
\underline{הוכחה:} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון.
+
\begin{proof}
−
$\\$
+
נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון.
−
\underline{מסקנה 3: גבול סדרה הוא יחיד}. כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $
+
\end{proof}
  
−
\underline{הוכחה:} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $
+
\begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד]
 +
כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $
 +
\end{cor}
 +
 
 +
\begin{proof}
 +
$x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $
 +
\end{proof}

גרסה מ־15:47, 3 בספטמבר 2014

\begin{thm} נניח $x_n\to L$ אזי \begin{enumerate} \item לכל $p<L$ קיים $n_1 $ כך ש- $n>n_1 \Rightarrow x_n>p$

\item לכל $q>L$ קיים $n_2 $ כך ש- $n>n_2 \Rightarrow x_n<q$ \end{enumerate} \end{thm}

\begin{proof}

אם נציב בהגדרת הגבול של $\lim_{n\to \infty} x_n = L $ את $\varepsilon=L-p$ נוכיח ישירות את 1 ואם נציב $\varepsilon=q-L$ נוכיח ישירות את 2.

\end{proof}

\begin{cor} אם $x_n\to a , y_n\to b$ כש- $a<b$ אז $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} x_n<y_n $ \end{cor}

\begin{proof} אם ניקח $p=\frac{a+b}{2}$ שהוא בין $a$ ל-$b$ אז לפי המשפט הקודם מתקיים:

$$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: x_n

n_2}: y_n>p $$ ואז עבור $n>n_0=\max\{n_1,n_2\} $ מתקיים ש- $x_n<p<y_n$ . \end{proof} \begin{cor}[גבול שומר על אי שיוויון חלש] כלומר אם $x_n\leq y_n $ ו- $x_n\to a , y_n\to b$ אז $a\leq b$ \end{cor} \begin{proof} נניח בשלילה ש- $a>b$ אזי מהמסקנה הקודמת $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} y_n<x_n $ בסתירה לנתון. \end{proof} \begin{cor}[גבול סדרה הוא יחיד] כלומר אם $x_n\to L_1 , x_n\to L_2 $ אזי $L_1=L_2 $ \end{cor} \begin{proof} $x_n\leq x_n$ ולכן, מהמסקנה הקודמת, $L_1\leq L_2 $ ובאותה דרך $L_2\leq L_1 $. מכאן ש- $L_1=L_2 $ \end{proof}

מקור: https://math-wiki.com/index.php?title=קוד:אי_שיוויונים_של_גבולות_(סדרות)&oldid=55850