ראינו במשפט פרמה שאם $f $ גזירה בנקודת קיצון אז הנגזרת היא $0$ אבל זה לא אומר שאם הנגזרת היא $0 $ הנק' היא נק' קיצון. לדוגמה עבור $f(x)=x^3 $ אז $f'(0)=0 $ אבל $x=0$ לא נק' קיצון. הכלל הבא עוזר לפתור הרבה בעיות מהסוג הזה:
\begin{thm}
\begin{proof}
מתקיים ש- \\$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + \varepsilon (x) \cdot (x-x_0)^n \ \text{where} \ \lim_{x\to x_0} \varepsilon(x) = 0 $ . לכן אם נעביר אגפים יתקיים
$$f(x)-f(x_0)=(x-x_0)^n \left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $$
מהגדרת הפונקציה אפסילון נקבל שקיים $\delta $ כך ש- \\$\forall x : |x-x_0|<\delta \Rightarrow |\varepsilon(x)|<|\frac{f^{(n)}}{(2n)!}| $ ולכן הסימן של $\left (\frac{f^{(n)}}{n!}+\varepsilon(x) \right ) $ זהה לסימן של $\frac{f^{(n)}}{n!} $.
כעת נחזור לכך ש-