הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| (4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | |||
| − | |||
\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים} | \subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים} | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ ) | ||
| − | + | \item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-$0$ אם הוא $0$. | |
| − | + | \item | |
| + | $\lim_{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 $.\\ | ||
| + | גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים: | ||
| − | 3. $\ | + | $3.1$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $ |
| − | $3. | + | $3.2$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $ |
| − | + | \end{enumerate} | |
| + | \end{thm} | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- | ||
| + | $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $$ | ||
| + | ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- | ||
| + | $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $$ | ||
| + | ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- | ||
| + | $$ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $$ | ||
| − | + | \item נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון: | |
| − | + | יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- | |
| + | $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $$ | ||
| + | ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- | ||
| + | $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $$ | ||
| + | ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- | ||
| + | $$ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $$ | ||
| − | יהי $ | + | \item יהי $ \epsilon>0 $. מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- |
| + | $$ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $$ | ||
| + | אבל | ||
| + | $$\frac{1}{\epsilon}<|x_n|\Leftrightarrow \frac{1}{|x_n|}<\epsilon $$ וקיבלנו את הדרוש כי | ||
| + | $$\forall_{n>n_0}:|\frac{1}{x_n}|<\epsilon $$ | ||
| − | + | $3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $. | |
| − | + | \end{enumerate} | |
| − | $3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $. | + | \end{proof} |
\subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:} | \subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:} | ||
יהיו $x_n,y_n$ | יהיו $x_n,y_n$ | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ ) | ||
| − | + | \begin{example} | |
| − | + | $$x_n=n, y_n=1-n \Rightarrow x_n+y_n=1\to 1$$ | |
| − | + | $$x_n=n^2, y_n=2-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=2\to 2$$ | |
| − | + | $$x_n=n^2 , y_n=-n \Rightarrow x_n+y_n=n^2-n=n(n-1)\to \infty$$ | |
| − | + | $$x_n=n , y_n=-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=-n^2+n=-n(n-1)\to -\infty$$ | |
| − | + | $$x_n=n , y_n=(-1)^n - n \Rightarrow x_n+y_n=(-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist} $$ | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | $x_n=n, y_n= | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | $x_n=n | + | |
| − | + | \end{example} | |
| − | $ x_n | + | \item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$ |
| − | + | \begin{example} | |
| − | $x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n}\\ x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\\ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} $ | + | $$x_n=n, y_n=\frac{1}{n} \Rightarrow x_n y_n=1\to 1$$ |
| + | $$x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = 2\to 2$$ | ||
| + | $$x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n} \Rightarrow x_n y_n = -n\to -\infty$$ | ||
| + | $$x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = \frac{1}{n}\to 0$$ | ||
| + | $$x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} \Rightarrow x_n y_n = (-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}$$ | ||
| − | + | \end{example} | |
| − | + | \item אם שתי הסדרות שואפות ל-$0$ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ | |
| − | + | \end{enumerate} | |
| − | \ | + | \begin{example} |
| + | אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $) | ||
| + | \end{example} | ||
| + | \underline{תרגיל:} מהו $\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ? | ||
| − | + | \underline{פתרון:} נשתמש בשיטה שנקראת "כפל בצמוד" והיא נקראת כך מהדמיון לרעיון של חילוק מספרים מרוכבים (לא חלק מהחומר של הקורס) | |
| − | + | $$ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$ | |
גרסה אחרונה מ־23:02, 6 באוקטובר 2014
\subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים} \begin{thm} \begin{enumerate} \item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n+y_n=\pm \infty $ (בהתאם לגבול של $ x_n $ )
\item אם $ x_n\to \pm \infty , y_n\to a\in \mathbb{R} $ ו- $ a\neq 0 $ אזי $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} x_n\cdot y_n=\operatorname{sign}(a)\cdot \pm \infty $ כאשר הסימן של a מוגדר להיות $1$ אם הוא חיובי, $-1$ אם הוא שלילי ו-$0$ אם הוא $0$.
\item
$\lim_{n\to \infty }|x_n|=\infty \Rightarrow \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 $.\\
גם הצד השני נכון, נסו להוכיח את זה לפי המשפטונים הבאים:
$3.1$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n>0 \Rightarrow x_n\to \infty $
$3.2$. $ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{1}{x_n}=0 \land x_n<0 \Rightarrow x_n\to -\infty $
\end{enumerate} \end{thm}
\begin{proof} \begin{enumerate} \item יהי $M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: a-1<y_n<a+1 $$ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>M-a+1 $$ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $$ \forall_{n>n_0}: x_n+y_n>(M-a+1)+(a-1)=M $$
\item נוכיח עבור $a$ חיובי, עבור $a$ שלילי ההוכחה דומה מאוד והדבר היחיד כמעט שמשתנה זה סימני אי השיוויון:
יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $$ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $$ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $$ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $$ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $$
\item יהי $ \epsilon>0 $. מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $$ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $$ אבל $$\frac{1}{\epsilon}<|x_n|\Leftrightarrow \frac{1}{|x_n|}<\epsilon $$ וקיבלנו את הדרוש כי $$\forall_{n>n_0}:|\frac{1}{x_n}|<\epsilon $$
$3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $. \end{enumerate} \end{proof}
\subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:} יהיו $x_n,y_n$ \begin{enumerate} \item אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ )
\begin{example} $$x_n=n, y_n=1-n \Rightarrow x_n+y_n=1\to 1$$ $$x_n=n^2, y_n=2-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=2\to 2$$ $$x_n=n^2 , y_n=-n \Rightarrow x_n+y_n=n^2-n=n(n-1)\to \infty$$ $$x_n=n , y_n=-n^2 \Rightarrow x_n+y_n=-n^2+n=-n(n-1)\to -\infty$$ $$x_n=n , y_n=(-1)^n - n \Rightarrow x_n+y_n=(-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist} $$
\end{example}
\item אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$
\begin{example}
$$x_n=n, y_n=\frac{1}{n} \Rightarrow x_n y_n=1\to 1$$ $$x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = 2\to 2$$ $$x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n} \Rightarrow x_n y_n = -n\to -\infty$$ $$x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2} \Rightarrow x_n y_n = \frac{1}{n}\to 0$$ $$x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} \Rightarrow x_n y_n = (-1)^n \Rightarrow \text{Limit } \text{doesn't } \text{exist}$$
\end{example}
\item אם שתי הסדרות שואפות ל-$0$ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ \end{enumerate}
\begin{example} אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $) \end{example}
\underline{תרגיל:} מהו $\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ?
\underline{פתרון:} נשתמש בשיטה שנקראת "כפל בצמוד" והיא נקראת כך מהדמיון לרעיון של חילוק מספרים מרוכבים (לא חלק מהחומר של הקורס) $$ \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\displaystyle{\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0 $$
