הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אריתמטיקה של גבולות אינסופיים (סדרות)"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
<latex2pdf> | <latex2pdf> | ||
<tex>קוד:ראש</tex> | <tex>קוד:ראש</tex> | ||
| − | + | \subsection{פעולות עם גבולות אינסופיים} | |
\underline{משפט:} | \underline{משפט:} | ||
| שורה 21: | שורה 21: | ||
יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $. | יהי $ M>0 $. מהגדרת הגבול של $y_n$ ידוע ש- $ \exists_{n_1}\forall_{n>n_1}: \frac{a}{2}<y_n<\frac{3a}{2} $ ומהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_2}\forall_{n>n_2}: x_n>\frac{2}{a}M $ ולכן אם נגדיר $n_0=\max\{n_1,n_2\} $ אז יתקיים ש- $ \forall_{n>n_0}: x_n\cdot y_n>\frac{2}{a}M\cdot \frac{a}{2}=M $. | ||
| + | |||
| + | 3. יהי $ \epsilon>0 $. מהגדרת השאיפה לאינסוף של $ x_n $ אנחנו יודעים ש- $ \exists_{n_0}\forall_{n>n_0}: x_n>\frac{1}{\epsilon} $ אבל $\frac{1}{\epsilon}<|x_n|\Leftrightarrow \frac{1}{|x_n|}<\epsilon $ וקיבלנו את הדרוש כי $\forall_{n>n_0}:|\frac{1}{x_n}|<\epsilon $ | ||
| + | |||
| + | $3.1$. נוכיח את $3.1$ ו- $3.2$ מוכח באופן דומה: יהי $M>0 $ אז $\exists_{n_0}\forall_{n>n_0} \frac{1}{x_n}<\frac{1}{M} $ ומכאן ש- $\forall_{n>n_0} x_n>M $. משל | ||
| + | |||
| + | \subsection{מקרים של כל מקרה לגופו - אי הגדרה:} | ||
| + | יהיו $x_n,y_n$ | ||
| + | |||
| + | 1. אם $x_n\to \infty , y_n \to -\infty $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n+y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty+(-\infty) $ ) | ||
| + | |||
| + | 2. אם $x_n\to \infty , y_n \to 0 $ אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $x_n\cdot y_n$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\infty\cdot 0 $ ) | ||
| + | |||
| + | 3. אם שתי הסדרות שואפות ל-0 אז לא ניתן מהנתונים האלה בלבד לדעת את הגבול של $\frac{x_n}{y_n}$ (במילים אחרות, לא מוגדר $\frac{0}{0} $ ) | ||
| + | |||
| + | $\\$ | ||
| + | דוגמאות: | ||
| + | |||
| + | 1. כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 1 אבל בכל זוג הגבול של הסכום שונה (ולפעמים לא קיים): | ||
| + | |||
| + | $x_n=n, y_n=1-n$ | ||
| + | |||
| + | $x_n=n^2, y_n=2-n^2 $ | ||
| + | |||
| + | $x_n=n^2 , y_n=-n $ | ||
| + | |||
| + | $ x_n=n , y_n=-n^2 $ | ||
| + | |||
| + | $ x_n=n , y_n=(-1)^n - n $ | ||
| + | |||
| + | 2. כל זוג סדרות פה הוא דוגמה למקרה 2 אבל בכל זוג הגבול של המכפלה שונה (ולפעמים לא קיים): | ||
| + | |||
| + | $x_n=n, y_n=\frac{1}{n}\\ x_n=n^2, y_n=\frac{2}{n^2}\\ x_n=n^2 , y_n=\frac{-1}{n}\\ x_n=n , y_n=\frac{1}{n^2}\\ x_n=n , y_n=\frac{(-1)^n}{n} $ | ||
| + | |||
| + | 3. אם ניקח כל זוג מהדוגמאות של מקרה 2 ונחליף את $x_n$ בהופכי שלו, נקבל דוגמאות ל-3 (חשבו מה קורה במקרה זה ל-$ \frac{y_n}{x_n} $) | ||
| + | |||
| + | $\\$ | ||
| + | \underline{תרגיל:} מהו $\lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} $ ? | ||
| + | |||
| + | \underline{פתרון:} $ \lim_{n\to \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n\to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\lim_{n\to \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0. | ||
| + | |||
| + | |||
<tex>קוד:זנב</tex> | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
</latex2pdf> | </latex2pdf> | ||
גרסה מ־08:41, 15 באוגוסט 2014
