<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.
\begin{thm}
אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : |b_n|<M $ אז $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-$0$ זו סדרה ששואפת ל-$0$)
\end{thm}
\underlinebegin{משפט:proof} אם יהי $\epsilon>0 $ . כיוון ש- $ a_n $ שואפת ל-$0$, לכל מרחק שיתנו לי קיים $N$ כך שלכל $n>N$, מרחק איברי $a_n$ מ-0 קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי, בפרט עבור המרחק $\undersetfrac{\varepsilon}{M} $. מתקיים אז ש-$$\exists N \forall n>N : |a_n|<\to frac{\inftyvarepsilon}{M} \longrightarrow}0 , Rightarrow \exists M N \forall n>N : |b_na_n|<\cdot M <\epsilon $ אז $ אבל המרחק של $ a_n b_n $ מ-$0$ הוא$$ |a_n b_n - 0| = |a_n b_n| = |a_n| \lim_{cdot |b_n| \leq |a_n| \cdot M $$וראינו בשורה הקודמת שקיים $ N $ כך שלכל $ n>N $ מתקיים ש- $ |a_n| \to cdot M \infty} leq \varepsilon $ ולכן אם ניקח את אותו $ N $, לכל $ n>N $ יתקיים ש- $|a_n b_n = 0 | <\varepsilon $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת , ומכאן, לפי הגדרת הגבול, $ a_n b_n $ שואפת ל-$0 זו סדרה ששואפת ל-0)$. \end{proof}
\underlinebegin{הוכחה:example} יהי $\epsilon>0 $ . כיוון ש- $a_n$ שואפת ל-0, לכל מרחק שיתנו לי קיים $N$ כך שלכל $n>N$, מרחק איברי $a_n$ מ-0 קטן מהמרחק ההתחלתי שנתנו לי, בפרט עבור המרחק $\frac{\epsilon}{M} $. מתקיים אז ש-
$\exists N \forall n>N : |a_n|<= \frac{\epsilonsin(n!)}{Mn} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-$0$. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \Rightarrow \exists N \forall sin(n>N : !) $ (תמיד מתקיים ש- $ |a_n\sin(x)| \cdot M <leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-$0$, $ \epsilon frac{1}{n} $\end{example}
אבל המרחק של \begin{thm} $ a_n b_n $ מ-0 הוא $ |a_n b_n - 0| = |a_n b_n| = |a_n| \cdot |b_n| to L \leq |Leftrightarrow a_n| \cdot M $ וראינו בשורה הקודמת שקיים $ N $ כך שלכל $ n>N $ מתקיים ש- $ |a_n| L\cdot M \leq \epsilon to 0 $ ולכן אם ניקח את אותו $ N $, לכל $ n>N $ יתקיים ש- $|a_n b_n| <. \epsilon $, ומכאן, לפי הגדרת הגבול, $ a_n b_n $ שואפת ל-0. משלend{thm}
דוגמה:\begin{thm}אם 2 הסדרות שואפות ל-0 אז גם הסכום והמכפלה שלהן שואפות ל-0.\end{thm}
$ a_n = \fracbegin{\sin(n!)}{nproof} כדי להוכיח שהמכפלה שואפת ל-$0$ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא פשוט נזכור שאחת הסדרות חסומה (כי מתכנסת ) והשנייה שואפת ל-$0$ ולכן המכפלה שלהן שואפת ל-$0$. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומהעבור סכום, צריך להוכיח ש-$$ \sin(forall\epsilon>0 \exists N\forall n!) >N:|a_n +b_n-0|<\epsilon $ (תמיד מתקיים $יהי $\epsilon>0$, מהנתון ומהגדרת גבול אנו יודעים ש- $ |$ \sin(x)exists N_1\forall n>N_1:|a_n-0|<\leq 1 frac{\epsilon}{2} $ ) וסדרה ששואפת ל$$$ \exists N_2\forall n>N_2:|b_n -0|<\frac{\epsilon}{2} $$לכן אם נגדיר $N=max\{N_1, N_2\}$ יתקיים$$ \forall n>N:|a_n+b_n-0|=|a_n+b_n|\leq |a_n|+|b_n|<\frac{1\epsilon}{n2} +\frac{\epsilon}{2}=\epsilon $ $מצאנו $ N $ כנדרש.
$ \\ $\underlineend{תרגיל בית:proof} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.
$\\$\underlinebegin{משפט:thm} [אריתמטיקה של גבולות] נניח ש- $ a_n \to L \Leftrightarrow a_n-La , b_n \to 0 b $ . (כאשר $a,b \in \mathbb{R} $ ) אזי:
$\begin{enumerate}\$item$\underlinedisplaystyle{משפט:\lim_{n\to \infty} אם 2 הסדרות שואפות ל-0 אז גם הסכום והמכפלה שלהן שואפות ל-0.} (a_n+b_n) = a+b $
\underline{הוכחה:} כדי להוכיח שהמכפלה שואפת ל-0, פשוט נזכור שאחת הסדרות חסומה (כי מתכנסת) והשנייה שואפת ל-0 ולכן המכפלה שלהן שואפת ל-0. עבור סכום, צריך להוכיח ש- item$ \foralldisplaystyle{\epsilon>0 lim_{n\exists Nto \forall n>N:|infty}} (a_n b_n-0|<\epsilon $ . יהי $\epsilon>0) = ab $, מהנתון ומהגדרת גבול אנו יודעים ש-
\item אם $ c$ קבוע אז $c\exists N_1\forall n>N_1:|cdot a_n-0|<\frac{\epsilon}{2} to ca $
\item אם $ a>0 $ אז $ \exists N_2displaystyle{\forall lim_{n>N_2:|b_n -0|<\to \infty}} \frac{1}{a_n} = \epsilonfrac{1}{2a} $\end{enumerate}
לכן אם נגדיר $N=max\end{N_1,N_2\thm}$ יתקיים
$ \forall n>Nbegin{proof}\begin{enumerate}\item נסמן $ x_n=a_n-a,y_n=b_n-b $ ועפ"י משפט, הם שואפים ל-$0$. מהמשפט הקודם, הסכום שלהם שואף ל-$0$:|$$ x_n+y_n=a_n-a+b_n-0|b=|(a_n+b_n|)-(a+b)\leq |to 0 $$לפי משפט, זה אומר ש- $ a_n|+|b_n|<\frac{\epsilon}{2}to a+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon b $
מצאנו \item אם נסתכל על אותם $ N x_n,y_n$ אז מהמשפט הקודם, המכפלה שלהם שואפת ל-$0$ כנדרש. משל$$ a_n b_n = (x_n+a)(y_n+b)=x_n y_n + a\cdot y_n + b\cdot x_n + ab $$כל אחד מארבעת הרכיבים מתכנס: הראשון ל-$0$, השני והשלישי הם סדרות ששואפות ל-$0$ כפול מספר קבוע (שאפשר להתייחס אליו כאל סדרה חסומה) ולכן שואפות ל-$0$ והרביעי הוא סדרה קבועה ששואפת ל- $ab$. סך הכל, מהדבר האחרון שהוכחנו (סכום גבולות), $ a_n b_n \to ab $
<tex\item נגדיר $\forall n: c_n=c$ ונראה ש- $c_n\to c$, ממשפטון 2 נקבל את הדרוש \item יהי אפסילון גדול מ-$0$. נראה שמתקיימים הדברים הבאים:\\$ \exists N_0 \forall n>קודN_0 :זנב||a_n| - |a||</tex|a| $ (לקחנו את הערך המוחלט של $a$ להיות האפסילון). לכן עבור $n>N_0$ מתקיים ש- $ |a|</latex2pdf2|a_n| $$$ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a-a_n}{a_n a}|=\frac{|a-a_n|}{|a_n| |a| }\leq |a-a_n| \frac{2}{|a_n| |a|} $$עפ"י הגדרת הגבול$$ \exists N \forall n>N: |a_n-a|\leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} $$מכאן שלכל $ n>N $$$ \left |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}\right |\leq |a_n-a| \frac{2}{|a_n| |a|} \leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} \frac{2}{|a_n| |a|}=\epsilon \frac{|a|}{2|a_n|}< \epsilon \frac{2|a_n|}{2|a_n|}=\epsilon $$ \end{enumerate}\end{proof} \begin{example}נמצא את גבול הסדרה $a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2} $ :$$a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2}=\frac{\frac{n^2+5n+6}{n^2}}{\frac{3n^2-2}{n^2}} = \frac{1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}$$אבל $ \frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\to 0 $ ומהסעיף השלישי והראשון במשפט הקודם מסיקים ש-$\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2} , \frac{2}{n^2}\to 0 $ ואחרי שנחבר את הקבועים נקבל שהמונה שואף ל-$1$ והמכנה ל-$3$ ומהסעיף הרביעי נקבל ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n = \frac{1}{3} $\end{example} \begin{remark}\begin{enumerate} \item אם $a_n$ מתכנסת ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n+b_n$ מתבדרת\item אם $a_n,b_n$ מתבדרות אזי $a_n+b_n$ עשויה להתבדר או להתכנס (אי אפשר לדעת באופן כללי, זה תלוי בסדרות עצמן)\item אם $a_n\to L\neq 0 $ ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n b_n $ מתבדרת\item אם $a_n\to 0 $ ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n b_n$ עשויה להתבדר או להתכנס.\item אם $a_n,b_n$ מתבדרות אזי $a_n b_n $ עשויה להתבדר או להתכנס\end{enumerate}\\$\\$הסבר:\begin{enumerate}\item נניח בשלילה ש- $c_n=a_n+b_n$ מתכנסת אז נראה כי $c_n-a_n=b_n$ מתכנסת כהפרש של מתכנסות. \item אפשר להגדיר $a_n=n$ , $b_n=n^2 $ , $c_n=-n$ ולראות ש- $a_n+c_n=0\to 0 $ ולעומת זאת $b_n+c_n=n(n-1)$ וזה מתבדר.\item הוכחה בשיעורי הבית\item הוכחה בשיעורי הבית\item נגדיר $a_n=(-1)^n $ ואז $a_n\cdot a_n = 1\to 1 $ למרות ש-2 הגורמים מתבדרים. מצד שני אם מגדירים $b_n=n$ נקבל ש- $a_n b_n=(-1)^n\cdot n $ שזה לא חסום ולכן מתבדר.\end{enumerate} \end{remark} \underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.