יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות.
\begin{thm}
אם $ a_n \underset{n\to \infty}{\longrightarrow}0 , \exists M : |b_n|<M $ אז $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n b_n = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-$0$ זו סדרה ששואפת ל-$0$)
\end{thm}
$ a_n = \frac{\sin(n!)}{n} $ היא סדרה שנראית די מסובכת במבט ראשון, אבל היא מתכנסת ל-$0$. זאת משום שהיא מכפלה של סדרה חסומה, $ \sin(n!) $ (תמיד מתקיים ש- $ |\sin(x)|\leq 1 $ ) וסדרה ששואפת ל-$0$, $ \frac{1}{n} $
\end{example}
\underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.
\begin{thm}
\begin{enumerate}
\item
$\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_n+b_n) = a+b $
\item
$ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}} (a_n b_n) = ab $
\item אם $c$ קבוע אז $c\cdot a_n \to ca $
\item אם $ a>0 $ אז $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} $
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{example}
נמצא את גבול הסדרה $a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2} $ :
$$a_n=\frac{n^2+5n+6}{3n^2-2}=\frac{\frac{n^2+5n+6}{n^2}}{\frac{3n^2-2}{n^2}} = \frac{1+\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2}}{3-\frac{2}{n^2}}$$
אבל $ \frac{1}{n},\frac{1}{n^2}\to 0 $ ומהסעיף השלישי והראשון במשפט הקודם מסיקים ש-$\frac{5}{n}+\frac{6}{n^2} , \frac{2}{n^2}\to 0 $ ואחרי שנחבר את הקבועים נקבל שהמונה שואף ל-$1$ והמכנה ל-$3$ ומהסעיף הרביעי נקבל ש- $\displaystyle{\lim_{n\to \infty}} a_n = \frac{1}{3} $
\end{example}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item אם $a_n$ מתכנסת ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n+b_n$ מתבדרת
\item אם $a_n,b_n$ מתבדרות אזי $a_n+b_n$ עשויה להתבדר או להתכנס (אי אפשר לדעת באופן כללי, זה תלוי בסדרות עצמן)
\item אם $a_n\to L\neq 0 $ ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n b_n $ מתבדרת
\item אם $a_n\to 0 $ ו- $b_n$ מתבדרת אזי $a_n b_n$ עשויה להתבדר או להתכנס.
\item אם $a_n,b_n$ מתבדרות אזי $a_n b_n $ עשויה להתבדר או להתכנס
\end{enumerate}
\\$\\$
הסבר:
\begin{enumerate}
\item נניח בשלילה ש- $c_n=a_n+b_n$ מתכנסת אז נראה כי $c_n-a_n=b_n$ מתכנסת כהפרש של מתכנסות.
\item אפשר להגדיר $a_n=n$ , $b_n=n^2 $ , $c_n=-n$ ולראות ש- $a_n+c_n=0\to 0 $ ולעומת זאת $b_n+c_n=n(n-1)$ וזה מתבדר.
\item הוכחה בשיעורי הבית
\item הוכחה בשיעורי הבית
\item נגדיר $a_n=(-1)^n $ ואז $a_n\cdot a_n = 1\to 1 $ למרות ש-2 הגורמים מתבדרים. מצד שני אם מגדירים $b_n=n$ נקבל ש- $a_n b_n=(-1)^n\cdot n $ שזה לא חסום ולכן מתבדר.
\end{enumerate}
\end{remark}
\underline{תרגיל בית:} נסו להשתמש בכך שעבור 2 מספרים $a,b$ תמיד מתקיים $ | |a|-|b| | \leq |a-b| $ כדי להוכיח שאם $ a_n \to L $ אז $ |a_n| \to |L| $ . הפריכו את המשפט ההפוך.