הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אריתמטיקה של גבולות של סדרות"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> יהיו $ \{a_n\}_{n=1}^{\infty} , \{b_n\}_{n=1}^\infty $ סדרות. \underline{משפט:} אם $ a_n \underset{n\to \i...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 38: | שורה 38: | ||
מצאנו $ N $ כנדרש. משל | מצאנו $ N $ כנדרש. משל | ||
| + | $\\$ | ||
| + | \underline{משפט: (אריתמטיקה של גבולות)} נניח ש- $ a_n \to a , b_n \to b $ (כאשר $a,b \in \mathbb{R} $ ) אזי: | ||
| + | |||
| + | 1. $\lim_{n\to \infty} (a_n+b_n) = a+b $ | ||
| + | |||
| + | 2. $ \lim_{n\to \infty} (a_n b_n) = ab $ | ||
| + | |||
| + | 3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot a_n \to ca $ | ||
| + | |||
| + | 4. אם $ a>0 $ אז $\lim_{n\to \infty} \frac{1}{a_n} = \frac{1}{a} $ | ||
| + | |||
| + | \underline{הוכחה:} | ||
| + | |||
| + | 1. נסמן $ x_n=a_n-a,y_n=b_n-b $ ועפ"י משפט, הם שואפים ל-0. מהמשפט הקודם, הסכום שלהם שואף ל-0: $ x_n+y_n=a_n-a+b_n-b=(a_n+b_n)-(a+b)\to 0 $ . לפי משפט, זה אומר ש- $ a_n+b_n\to a+b $ | ||
| + | |||
| + | 2. אם נסתכל על אותם $x_n,y_n$ אז מהמשפט הקודם, המכפלה שלהם שואפת ל-0. | ||
| + | |||
| + | $ a_n b_n = (x_n+a)(y_n+b)=x_n y_n + a\cdot y_n + b\cdot x_n + ab $ | ||
| + | |||
| + | כל אחד מארבעת הרכיבים מתכנס: הראשון ל-0, השני והשלישי הם סדרות ששואפות ל-0 כפול מספר קבוע (שאפשר להתייחס אליו כאל סדרה חסומה) ולכן שואפות ל-0 והרביעי הוא סדרה קבועה ששואפת ל- $ab$. סך הכל, מהדבר האחרון שהוכחנו (סכום גבולות), $ a_n b_n \to ab $ | ||
| + | |||
| + | 3. נגדיר $\forall n: c_n=c$ ונראה ש- $c_n\to c$, ממשפטון 2 נקבל את הדרוש | ||
| + | |||
| + | 4.יהי אפסילון גדול מ-0. נראה שמתקיימים הדברים הבאים: | ||
| + | |||
| + | $ \exists N_0 \forall n>N_0 : ||a_n| - |a||<|a| $ (לקחנו את הערך המוחלט של $a$ להיות האפסילון). לכן עבור $n>N_0$ מתקיים ש- $ |a|<2|a_n| $ | ||
| + | |||
| + | $ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a-a_n}{a_n a}|=\frac{|a-a_n|}{|a_n| |a| }\leq |a-a_n| \frac{2}{|a_n| |a|} $ | ||
| + | |||
| + | עפ"י הגדרת הגבול | ||
| + | |||
| + | $ \exists N \forall n>N: |a_n-a|\leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} $ | ||
| + | |||
| + | מכאן שלכל $ n>N $ | ||
| + | |||
| + | $ |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|\leq |a_n-a| \frac{2}{|a_n| |a|} \leq \epsilon \frac{|a|^2}{4} \frac{2}{|a_n| |a|}=\epsilon \frac{|a|}{2|a_n|}< \epsilon \frac{2|a_n|}{2|a_n|}=\epsilon $ | ||
| + | |||
| + | משל | ||
<tex>קוד:זנב</tex> | <tex>קוד:זנב</tex> | ||
</latex2pdf> | </latex2pdf> | ||
גרסה מ־22:45, 11 באוגוסט 2014
