הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:אריתמטיקה של גבולות של פונקציות"

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מ (גרסה אחת יובאה)
 
שורה 1: שורה 1:
יהיו $ f,g $ פונקציות.
+
תהיינה $ f,g $ פונקציות.
  
  
\begin{theorem} אם $ \lim_{x\to a} f(x)=0 , \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $ אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של סדרה חסומה בסדרה ששואפת ל-0 זו סדרה ששואפת ל-0)
+
\begin{thm} אם
 +
$$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $$
 +
אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0)
  
\end{theorem}
+
\end{thm}
  
 
\begin{proof}  
 
\begin{proof}  
נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ (כש- $x$ שואף ל-0 $a$ )
+
נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $  
 
\end{proof}
 
\end{proof}
  
  
$\\$ \begin{theorem} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:
+
\begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:
  
 
1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $
 
1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $
שורה 21: שורה 23:
 
4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $
 
4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $
  
\end{theorem}
+
\end{thm}
  
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ואם נשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות נקבל את הדרוש
+
שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות:
 +
$$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$
 +
השאר מוכחים באופן דומה.
 
\end{proof}
 
\end{proof}

גרסה אחרונה מ־07:08, 31 באוגוסט 2015

תהיינה $ f,g $ פונקציות.


\begin{thm} אם $$ \lim_{x\to a} f(x)=0 ,\ \exists M \exists \delta \forall x:0<|x-a|<\delta\Rightarrow |g(x)|<M $$ אז $ \lim_{x\to a} f(x) g(x) = 0 $ (מכפלה של פונקציה חסומה בסביבת נקודה בפונקציה ששואפת ל-0 בנק' זו היא פונקציה ששואפת ל-0)

\end{thm}

\begin{proof} נשתמש בעקרון היינה: נניח $x_n\to a $ ונראה כי $f(x_n)\to 0 $ וקיימת סביבה של $a$ בה $g(x_n) $ חסומה ולכן $f(x_n) g(x_n) \to 0 $ \end{proof}


\begin{thm} נניח ש- $ f(x) \to l_1 , g(x) \to l_2 $ (כאשר $l_1,l_2 \in \mathbb{R} $ ) אזי:

1. $\lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) = l_1+l_2 $

2. $ \lim_{x\to a} (f(x) g(x)) = l_1 l_2 $

3. אם $c$ קבוע אז $c\cdot f(x) \to cl_1 $

4. אם $ l_1>0 $ אז $\lim_{x\to a} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l_1} $

\end{thm}

\begin{proof} שוב נשתמש בעקרון היינה, נגדיר $x_n \to a , x_n \neq a $ ונשתמש באריתמטיקת גבולות של סדרות: $$ \lim_{x\to a} f(x)+g(x) = \lim_{n\to \infty} f(x_n)+g(x_n) =\lim_{n\to \infty} f(x_n)+\lim_{n\to \infty}g(x_n)=l_1+l_2 $$ השאר מוכחים באופן דומה. \end{proof}