קוד:גבול עליון ותחתון

תהי סדרה $\{x_n\}_{n=1}^\infty $ . נגדיר 2 סדרות חדשות: $L_n=\sup \{x_k : k\leq n\} , l_n = \inf \{x_k : k \leq n\} $ . ברור ש- $l_n\leq L_n $.

תזכורת: $ A\subseteq B\subseteq \mathbb{R} \Rightarrow \inf B\leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B $

מהתזכורת הזאת נשים לב ש- $ L_n $ מונו' (מונוטונית) יורדת ו- $ L_n $ מונו' עולה. זאת משום ש- $ \{x_k : k\leq n\} \subseteq \{x_k : k\leq n+1 \} $ ולכן $ l_n\leq l_{n+1}\leq L_{n+1} \leq L_n $

\underline{הגדרה:} הגבול העליון של $ x_n $, שמסומן באופן הבא: $ \overline{\lim_{n\to\infty}} $ מוגדר להיות $ \lim_{n\to \infty} L_n $ . באותו אופן, הגבול התחתון הוא ***שגיאה באנדרליין***!!!!!