הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:גבול של פונקציה מונוטונית"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> אומרים ש- $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ מונוטונית עולה אם $\forall x,y\in A : x\leq y \...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | \begin{definition} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
אומרים ש- $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ מונוטונית עולה אם $\forall x,y\in A : x\leq y \Rightarrow f(x)\leq f(y) $ ומונוטונית יורדת אם $\forall x,y\in A : x\leq y \Rightarrow f(x)\geq f(y) $ | אומרים ש- $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ מונוטונית עולה אם $\forall x,y\in A : x\leq y \Rightarrow f(x)\leq f(y) $ ומונוטונית יורדת אם $\forall x,y\in A : x\leq y \Rightarrow f(x)\geq f(y) $ | ||
| + | \end{definition} | ||
| + | |||
| + | \begin{theorem} | ||
| + | אם $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ מונוטונית אזי קיימים $\lim_{x\to a} f(x) , \lim_{x\to b} f(x) $ והם $\sup_{x\in (a,b)} f(x) , \inf_{x\in (a,b) } f(x) $ (לאו דווקא בהתאמה, זה תלוי אם מונוטונית עולה או יורדת) | ||
| + | \end{theorem} | ||
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
| + | נתרכז במקרה ש- $f$ מונו' עולה. נגדיר בשביל הפשטות $Q=\sup_{x\in (a,b)} f(x) $ . מתקיים $\forall x\in (a,b) : f(x)\leq Q $. יהי $\varepsilon>0$ ולכן קיים $x_0 $ כך ש- $Q-\varepsilon<f(x_0)\leq Q $ ואז מתקיים ש- $\forall x>x_0 : Q-\varepsilon<f(x_0)\leq f(x)\leq Q $ לכן אם ניקח את $\delta=b-x_0 $ יתקיים ש- $\forall_x : |x-b|<\delta \Rightarrow |f(x)-Q|<\varepsilon $. לכן לפי הגדרת הגבול נקבל את הדרוש, ובאופן דומה קל להוכיח ש- $\lim_{x\to a} f(x) = \inf_{x \in (a,b)} f(x) $ | ||
| + | \end{proof} | ||
| − | + | מסקנה: אם פונקציה מונוטונית בקטע $(a,b) $ וחסומה אז קיימים $\lim_{x\to a} f(x) , \lim_{x\to b} f(x) $ סופיים | |
| − | + | ||
גרסה מ־14:41, 26 באוגוסט 2014
\begin{definition} אומרים ש- $f:A\to \mathbb{R} , A\subseteq\mathbb{R} $ מונוטונית עולה אם $\forall x,y\in A : x\leq y \Rightarrow f(x)\leq f(y) $ ומונוטונית יורדת אם $\forall x,y\in A : x\leq y \Rightarrow f(x)\geq f(y) $ \end{definition}
\begin{theorem} אם $f:[a,b]\to\mathbb{R} $ מונוטונית אזי קיימים $\lim_{x\to a} f(x) , \lim_{x\to b} f(x) $ והם $\sup_{x\in (a,b)} f(x) , \inf_{x\in (a,b) } f(x) $ (לאו דווקא בהתאמה, זה תלוי אם מונוטונית עולה או יורדת) \end{theorem}
\begin{proof} נתרכז במקרה ש- $f$ מונו' עולה. נגדיר בשביל הפשטות $Q=\sup_{x\in (a,b)} f(x) $ . מתקיים $\forall x\in (a,b) : f(x)\leq Q $. יהי $\varepsilon>0$ ולכן קיים $x_0 $ כך ש- $Q-\varepsilon<f(x_0)\leq Q $ ואז מתקיים ש- $\forall x>x_0 : Q-\varepsilon<f(x_0)\leq f(x)\leq Q $ לכן אם ניקח את $\delta=b-x_0 $ יתקיים ש- $\forall_x : |x-b|<\delta \Rightarrow |f(x)-Q|<\varepsilon $. לכן לפי הגדרת הגבול נקבל את הדרוש, ובאופן דומה קל להוכיח ש- $\lim_{x\to a} f(x) = \inf_{x \in (a,b)} f(x) $ \end{proof}
מסקנה: אם פונקציה מונוטונית בקטע $(a,b) $ וחסומה אז קיימים $\lim_{x\to a} f(x) , \lim_{x\to b} f(x) $ סופיים
