\begin{definition}
אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים
$$\forall \varepsilon>0 \exists \delta>0 \forall x : \left (|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon \right ) $$
\end{definition}
שוב אנו נתקלים בהגדרת גבול שנראית מסובכת במבט ראשון, אבל העקרון העומד מאחוריה הגיוני. אנו רוצים שעבור כל מרחק מ-$L$ (זה ה- $\varepsilon $), לא חשוב כמה קטן, תהיה לנו סביבה של $a$ שבה כל הערכים (מלבד $a$, משום שהרעיון בגבול זה שלא אכפת לנו מה קורה בנקודה עצמה) מועברים ע"י $f$ למספרים שהמרחק שלהם מ-$L$ קטן מהמרחק ההתחלתי שניתן לנו.
\underlinebegin{הגדרה:example} אומרים ש-$L$ הוא גבול של $f$ בנקודה $a$ אם מתקיים
$\forall_{\varepsilon>0} \exists_{\delta>0}| \forall_x : (|x-a|<\delta \rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon $ דוגמה: $f(x)=\begin{cases} 1 & \text{if } \ x\neq0 \\ 0& \text{if}\ x=0\end{cases} $ אז $\lim_{x\to 0} f(x)=1 $ \end{example}\underlinebegin{הוכחה:proof} יהי אפסילון גדול מ-$0$, במקרה הזה אפשר לבחור כל $\delta $, ניקח לדוגמה $\delta = 1 $ואז לכל $x$ שמקיים $|x-0|<1 $ מתקיים ש- $|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon $ . משל\end{proof}