<latex2pdf>
<tex>קוד:ראש</tex>
\subsection{הגדרה}
נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .
\end{thm}
\begin{proof}
נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שניאם נכתוב את $x_n$ בצורה מפורשת אפשר גם לראות ש-$$x_n=1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )}{n!}$$ולכן אם נקבע $k$ ספציפי וניקח $n>k $ נקבל ש-$$x_n \geq 1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )}{k!}$$ואם נשאיף את $n\to \infty $ אז נקבל בצד ימין בדיוק את $e_k $ ובצד שמאל את $e$. גבול שומר על אי שיוויון חלש ולכן נקבל$$x_n\leq e_n \leq e$$ולפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.
\end{proof}
וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה
\end{proof}
<tex>קוד:זנב</tex>
</latex2pdf>