הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:המספר של אוילר e"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \subsection{הגדרה} נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . \underline{משפט:} קיים הגבול $\lim_{n\to \...") |
מ (4 גרסאות יובאו) |
||
| (3 גרסאות ביניים של משתמש אחר אחד אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
\subsection{הגדרה} | \subsection{הגדרה} | ||
נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . | נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ . | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
| + | קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$. | ||
| + | \end{thm} | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
| + | נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל. | ||
עולה מונוטונית: | עולה מונוטונית: | ||
| − | $ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $ | + | $$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=$$ |
| + | $$\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $$ | ||
לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא: | לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא: | ||
| − | + | $$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $$ | |
| − | $ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $ | + | |
| − | + | ||
מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה. | מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה. | ||
| − | חסומה מלעיל: | + | \underline{חסומה מלעיל:} |
$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ | $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ | ||
ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל | ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל | ||
| − | + | $$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$ | |
| − | $x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$ | + | |
| − | + | ||
איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה | איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה | ||
| − | + | $$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $$ | |
| − | $\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $ | + | |
| − | + | ||
ולכן | ולכן | ||
| + | $$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $$ | ||
| − | + | כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n\leq 3$ | |
| − | + | ||
| − | כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n | + | |
אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. | אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת. | ||
| + | |||
| + | \end{proof} | ||
\subsection{תכונות של $ e $} | \subsection{תכונות של $ e $} | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
| − | \ | + | $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $ |
| + | \end{thm} | ||
| + | \begin{proof} | ||
| + | נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני אם נכתוב את $x_n$ בצורה מפורשת אפשר גם לראות ש- | ||
| + | $$x_n=1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )}{n!}$$ | ||
| + | ולכן אם נקבע $k$ ספציפי וניקח $n>k $ נקבל ש- | ||
| + | $$x_n \geq 1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )}{k!}$$ | ||
| + | ואם נשאיף את $n\to \infty $ אז נקבל בצד ימין בדיוק את $e_k $ ובצד שמאל את $e$. גבול שומר על אי שיוויון חלש ולכן נקבל | ||
| + | $$x_n\leq e_n \leq e$$ | ||
| + | ולפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש. | ||
| − | + | \end{proof} | |
נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים | נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים | ||
| − | $e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ | + | $$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=$$ |
| + | $$\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ $ | ||
כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח: | כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח: | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
| + | $e\not\in \mathbb{Q} $ | ||
| + | \end{thm} | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל | נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל | ||
| − | + | $$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $$ | |
| − | $(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $ | + | |
| − | + | ||
וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה | וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה | ||
| − | + | \end{proof} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
גרסה אחרונה מ־20:16, 4 באוקטובר 2014
\subsection{הגדרה} נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .
\begin{thm} קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$. \end{thm}
\begin{proof} נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.
עולה מונוטונית:
$$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=$$ $$\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $$
לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא:
$$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $$
מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.
\underline{חסומה מלעיל:}
$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$
ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל $$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$$ איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה $$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $$ ולכן $$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $$
כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n\leq 3$
אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.
\end{proof}
\subsection{תכונות של $ e $} \begin{thm} $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $ \end{thm} \begin{proof} נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ . צריך להראות ש- $e_n\to e $ . אם נשתמש באותה סדרה $x_n$ שהגדרנו אז ראינו בהוכחה של המשפט הקודם ש- $x_n\leq e_n $. מצד שני אם נכתוב את $x_n$ בצורה מפורשת אפשר גם לראות ש- $$x_n=1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{n-1}{n} \right )}{n!}$$ ולכן אם נקבע $k$ ספציפי וניקח $n>k $ נקבל ש- $$x_n \geq 1+1+\cdots + \frac{1\left ( 1-\frac{1}{n} \right ) \cdots \left ( 1-\frac{k-1}{n} \right )}{k!}$$ ואם נשאיף את $n\to \infty $ אז נקבל בצד ימין בדיוק את $e_k $ ובצד שמאל את $e$. גבול שומר על אי שיוויון חלש ולכן נקבל $$x_n\leq e_n \leq e$$ ולפי משפט הסנדוויץ' נקבל את הדרוש.
\end{proof}
נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים
$$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=$$ $$\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ $
כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:
\begin{thm} $e\not\in \mathbb{Q} $ \end{thm}
\begin{proof}
נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל $$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $$ וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה \end{proof}
