קוד:המספר של אוילר e

\subsection{הגדרה} נגדיר את $x_n=(1+\frac{1}{n})^n$ .

\underline{משפט:} קיים הגבול $\lim_{n\to \infty} x_n $ , לגבול הזה קוראים $e$.

\underline{הוכחה:} נוכיח שהסדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.

עולה מונוטונית:

$ \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{(1+\frac{1}{n})^{n}}{(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}}=\frac{(\frac{n+1}{n})^{n}}{(\frac{n}{n-1})^{n-1}}=\frac{(n+1)^n (n-1)^{n-1}}{n^n n^{n-1}}=\frac{(n^2-1)^n n}{n^{2n}(n-1)}=(1-\frac{1}{n^2})^n \frac{n}{n-1} $

לפי אי שיוויון ברנולי, זה גדול או שווה לביטוי הבא:

$ (1+n(-\frac{1}{n^2})) \cdot \frac{n}{n-1} = \frac{(n-1)n}{n(n-1)} = 1 $

מכאן שזוהי סדרה מונוטונית עולה.

חסומה מלעיל:

$x_n=(1+\frac{1}{n})^n$

ואם נפתח את הביטוי לפי הבינום של ניוטון נקבל

$x_n=1+\binom{n}{1} \frac{1}{n} + \binom {n}{2} \frac{1}{n^2} + \cdots + \frac{1}{n^n}$

איבר טיפוסי בסכום הזה הוא מהצורה

$\binom{n}{k} \frac{1}{n^k} = \frac{n!}{(n-k)! k!} \frac{1}{n^k} \leq \frac{n^n}{n^{n-k} k!} \frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!} $

ולכן

$x_n \leq 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}\leq 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}} $

כל מה שאחרי ה-2 זה סדרה הנדסית אינסופית שסכומה 1 ולכן נקבל ש- $x_n<3$

אז זוהי סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל ולכן מתכנסת.

\subsection{תכונות של $ e $} \underline{משפט:} $ \lim_{n\to \infty} \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots + \frac{1}{n!}=e $ \underline{הוכחה:} (ההוכחה משתמשת בכלים מסוף הקורס) ידוע ש- $e^x=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} $ ולכן אם נציב $x=0$ נקבל את הדרוש.

$\\$

נשים לב שאם נגדיר $e_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} $ אז אם $N>n$ מתקיים

$e_N-e_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots \frac{1}{N!}\leq \frac{1}{(n+1)!}+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\cdots + \frac{1}{(n+2)^{N-n-1}})=\frac{1}{(n+1)!}\cdot \frac{\frac{1}{n+2}((\frac{1}{n+2})^{N-n} - 1)}{\frac{1}{n+2} - 1 } \leq \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{1-\frac{1}{n+2}} = \frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $

כעת נשתמש בזה בשביל להוכיח:

\underline{משפט:} $e\not\in \mathbb{Q} $

\underline{הוכחה:}

נניח $ e=\frac{p}{q} =1+\cdots +\frac{1}{n!}+\alpha_n $ ומכאן $|\alpha_n|<\frac{1}{(n+1)!}\frac{1}{n+1} $ וע"י כפל של 2 האגפים נקבל

$(n+1)!\frac{p}{q}=(n+1)!(1+\cdots+\frac{1}{n!})+(n+1)!\alpha_n $

וזה נכון לכל $n$, בפרט ל- $n>q$ . במקרה זה, אגף שמאל שלם ואגף ימין מורכב ממשהו שהוא שלם ועוד $(n+1)!\alpha_n$ אבל החלק האחרון הזה הוא לא שלם משום שקטן מ- $\frac{1}{n+1} $. אגף שמאל, שהוא שלם הוא סכום של משהו שלם ומשהו שהוא לא שלם. סתירה