קוד:חישוב גבולות עם שארית פיאנו

ניתן להשתמש בשארית פיאנו ובהגדרת $o(x-x_0)^n, x\to x_0 $ כדי לחשב גבולות.

\begin{example}

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - e^{\frac{x^2}{2}}}{x^4}$ . נראה כי $\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) , e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{8}+o(x^4) $

לכן

$$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - e^{\frac{x^2}{2}}}{x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4)}{x^4} = $$ $$\lim_{x\to 0} \frac{(\frac{1}{24}-\frac{1}{8})x^4 + o(x^4)}{x^4}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8}=\frac{-1}{12} $$

\end{example}