הגדרה: תהי U סדורה ותהי תת קבוצה $A\subseteq U$, אזי<latex2pdf><tex>קוד:ראש</tex>
\begin{definition}תהי קבוצה $MA\in Usubseteq \mathbb{R}$, אזי:\begin{enumerate}\item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$(כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה)
\item $m\in U$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$
\item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A(בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)
\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A
\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו. , מסמנים אותו $\sup A $ (כלומר, החסם העליון הוא המינימום מבין קבוצת חסמי המלעיל, אם כזה קיים.מהמילה )
\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו. , מסמנים אותו $\inf A $ (כלומר, החסם התחתון הוא המקסימום מבין קבוצת חסמי המלרע, אם כזה קיים.מהמילה inferior)
\end{enumerate}
\end{definition}
שימו לב לשלילות הבאות:
m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו.
אקסיומת השלימות \begin{remark}מאחת ההגדרות של המספרים הממשיים - לכל $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון).\end{remark}
ניתן לראות ששדה הרציונאליים אינו שלם. נגדיר קבוצה של כל המספרים הרציונאליים אשר בריבוע קטנים משתים (כלומר המספרים שקטנים משורש שתים). לכל חסם מלעיל של הקבוצה, יש חסם מלעיל הקרוב יותר לשורש שתים הקטן ממנו (שכן שורש שתים עצמו אינו רציונאלי ולכן לא יכול להוות חסם מלעיל). לכן אין אף חסם עליון לקבוצה החסומה מלעיל שבנינו.\begin{thm} משפט. תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי:
M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$
m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$
\end{thm}
במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.)
הוכחה. \begin{proof}נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.
$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.end{thm}
לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר.<tex>קוד:זנב</tex></latex2pdf>