\item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$
\item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)
\item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A
\item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה $\text{superior}$ )
\item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה $\text{inferior}$)
\end{enumerate}
$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\
$463$ הוא מקרה מיוחד של חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון)דבר שנגדיר עוד מעט.\\
מצד שני\\
$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\
$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון.המינימום
\end{example}
\begin{example}
לא לכל קבוצה יש חסם מלעיל או מלרע. לדוגמה ניקח את $$B=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.012,0.0013,\cdots\right \} $$נשים לב ונראה ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $B$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד גם בקבוצה וגם חסם תחתון.\\$0$ חסם תחתון של $B$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים$$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$$$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא איך אין לקבוצה חסם המלרע הכי גדול.\\מצד שני $0\not\in B $ , ולכן אין מינימום.מלעיל!
\end{example}
שימו לב לשלילות הבאות\begin{definition}תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי:\\$M$ הוא חסם עליון של $A$ אם מתקיים:\\א. $M$ חסם מלעיל\\ב. לכל חסם מלעיל $T$ מתקיים $M\leq T$\\מסמנים אותו $\sup A $, מהמילה $\text{superior}$. \end{definition}
$M$ אינו \begin{remark}חסם מלעיל אם"ם קיים איבר של $a>MA$הוא חסם עליון אם אין חסם מלעיל קטן ממנו, בעצם חסם עליון הוא חסם המלעיל הכי קטן.\end{remark}
\begin{definition}תהי קבוצה $mA\subseteq \mathbb{R}$ אינו , אזי:\\$M$ הוא חסם מלרע עליון של $A$ אם"ם קיים איבר מתקיים:\\א. $a<M$חסם מלרע\\ב. לכל חסם מלרע $T$ מתקיים $M\geq T$\\מסמנים אותו $\sup A $, מהמילה $\text{inferior}$.
$M$ אינו חסם עליון אם"ם הוא אינו חסם מלעיל או שקיים חסם מלעיל הקטן ממש ממנו.\end{definition}
\begin{example}ניקח את $m$ אינו B=\left \{\left ( \frac{1}{n} \right ) : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots\right \} $$נשים לב ש-$1$ חסם תחתון אם"ם הוא אינו מלעיל של הקבוצה ואפילו החסם העליון שלה, משום שכל חסם מלרע מלעיל צריך להיות גדול או שקיים שווה לכל איברי הקבוצה, בפרט ל-$1$.\\הקבוצה חסומה מלרע ע"י $0$, וזה גם החסם התחתון, משום שאם היה חסם מלרע הגדול ממש ממנואחר, אפסילון, שלכל $n$ היה מקיים $\varepsilon<\frac{1}{n}$ אז אפשר לראות שזה בלתי אפשרי ע"י לקחת $n>\frac{1}{\varepsilon} $ ולהגיע לסתירה.\\\end{example}
\begin{remark}
תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ לא תמיד קיים חסם עליון, לדוגמה אם הקבוצה לא חסומה מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ ובנוסף $M$ , בוודאי שאין חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$.
\end{remark}
\begin{thm}
אם חסם עליון קיים אזי הוא יחיד
\end{thm}
\begin{proof}
\begin{enumerate}\item אם $-MM_1,M_2 $ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\$\forall b \in B : עליונים אז שניהם חסמים מלעיל. כיוון ש-M\leq b $ M_1 $\Leftrightarrow$\\$\forall a\in A : חסם עליון ו-M\leq -a $ $\Leftrightarrow$\\$\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\$MM_2 $ חסם מלעיל של מתקיים ש- $A$M_1\item נניח $M$ חסם עליון של $Aleq M_2 $, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $ובאופן סימטרי כיוון ש-M$ חסם מלרע של M_2 $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq עליון ו-M $, ולכן $-m\leq M M_1 $ חסם מלעיל של אז $AM_2\leq M_1 $ בסתירה לכך ש- . בסך הכך $MM_1=M_2 $ חסם המלעיל הכי קטן שלוואז ראינו שאם יש כמה חסמים עליונים, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתוןהם בעצם אותו אחד. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה. \end{enumerate}
\end{proof}
\begin{remark}
מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.הטענה נכונה גם לחסם תחתון, עם הוכחה כמעט זהה (רק צריך להפוך את סימני אי השיוויונים)
\end{remark}
\begin{definition}
חסם עליון של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה)\\
חסם תחתון של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A
\end{definition}
\begin{example}
ניקח את $C=[a,b)$. נראה כי $\inf C = a , \sup C = b $, וכיוון ש- $a\in C , b\not\in C $ נקבל שיש לקבוצה מינימום אבל לא מקסימום.
\end{example}
\begin{example}
ניקח את
$$D=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$
נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\
מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $D$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד בקבוצה.\\
$0$ חסם תחתון של $D$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים
$$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$
$$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$
אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\
מצד שני $0\not\in D $ , ולכן אין מינימום.
\end{example}
\begin{thm}
אם $\phi \neq M$ חסם מלעיל של $A$ ו- $M\subseteq\mathbb{R}in A$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.הוא מקסימום
\end{thm}
\begin{proof}
תהי צריך להוכיח ש-$AM$ לא ריקה חסומה מלרעחסם עליון. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה נניח שקיים חסם מלעיל לפי המשפטאחר, ומההערה יש לה חסם עליון $MT$. מאותו המשפט, נקבל ש- אזי $-M\forall a\in A : a\leq T $ חסם תחתון של אבל $M\in A$ ולכן הוכחנו שיש לה $M\leq T$. לכן הוא חסם תחתוןעליון. (מצאנו אותו)
\end{proof}
שימו לב לשלילות הבאות:
\begin{enumerate}
\item $M$ אינו חסם מלעיל אם"ם קיים איבר $a\in A$ כך ש- $a>M$
\item $m$ אינו חסם מלרע אם"ם קיים איבר $a\in A$ כך ש- $a<M$
\item $M$ אינו חסם עליון אם"ם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:\\
א. $M$ אינו חסם מלעיל\\
ב. קיים חסם מלעיל $T$ כך ש- $T<M$.
\item $m$ אינו חסם תחתון אם"ם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:\\
א. $m$ אינו חסם מלרע\\
ב. קיים חסם מלרע $t$ כך ש- $m<t$.
\end{enumerate}
\begin{thm}
נוכיח עבור חסם עליון, ועבור חסם תחתון אפשר להוכיח באופן דומה.\\
\boxed{\Leftarrow}\\
נניח $M $ חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-$M $ חסם מלעיל. נותר להוכיח כי
$$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$
נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\
\boxed{\Rightarrow}
נניח בשלילה ש- $M$ לא חסם עליון. לפי הנתון הוא חסם מלעיל ולכן מההנחה בשלילה מסיקים שיש חסם מלעיל קטן ממנו, נסמנו $m$. נסתכל על $\varepsilon=M-m $ , ונראה ש- $M-\varepsilon=m $ , שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה, ולכן אין איבר ב-$A$ שגדול מ-$M-\varepsilon$, בסתירה לנתון.
\end{proof}
\begin{remark}
תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי\\
1. $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$\\
2. $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$.
\end{remark}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $-M$ חסם מלרע של $B$ $\Leftrightarrow$\\
$\forall b \in B : -M\leq b $ $\Leftrightarrow$\\
$\forall a\in A : -M\leq -a $ $\Leftrightarrow$\\
$\forall a\in A : a\leq M $ $\Leftrightarrow$\\
$M$ חסם מלעיל של $A$
\item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה.
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{remark}[אקסיומת החסם העליון]
מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון.
\end{remark}
\begin{thm}
אם $\phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון.
\end{thm}
\begin{proof}
תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו)
\end{proof}
\begin{remark}
בהנתן 2 קבוצות לא ריקות $A,B$ נגדיר את $A+B$ באופן הבא:
$$A+B=\{ a+b | a\in A , b\in B\}$$
אם שתיהן חסומות מלעיל אזי גם $A+B$ חסומה מלעיל ומתקיים ש- $\sup(A+B)=\sup A + \sup B $
\end{remark}
\begin{proof}
קודם כל נראה ש- $\sup A + \sup B $ הוא חסם מלעיל של $A+B$:
יהי $x\in A+B$ אזי קיימים $a\in A , b\in B $ כך ש- $x=a+b$.\\
כעת נראה ש- $x=a+b\leq \sup A + \sup B $ משום ש- $a\leq \sup A , b\leq \sup B$.\\
כעת נראה שזהו חסם עליון: יהי $\varepsilon>0 $. ידוע אז ש-
$$\exists a'\in A , b'\in B : \sup A -\frac{\varepsilon}{2}<a' , \sup B-\frac{\varepsilon}{2}<b'$$
ולכן
$$\sup A + \sup B - \varepsilon = \sup A -\frac{\varepsilon}{2} + \sup B-\frac{\varepsilon}{2} < a'+b' \in A+B$$
הוכחנו שלכל אפסילון קיים איבר ב- $A+B$ שגדול מ- $\sup A + \sup B - \varepsilon$ ולכן\\
$\sup A + \sup B$ הוא החסם העליון של $A+B$
\end{proof}