הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חסמים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "הגדרה: תהי U סדורה ותהי תת קבוצה $A\subseteq U$, אזי: $M\in U$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ $m\in...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | + | <latex2pdf> | |
| + | <tex>קוד:ראש</tex> | ||
| − | $ | + | \begin{definition} |
| + | תהי קבוצה $A\subseteq \mathbb{R}$, אזי: | ||
| + | \begin{enumerate} | ||
| + | \item $M$ נקרא חסם מלעיל של A אם $\forall a\in A:a\leq M$ (כלומר שגדול/שווה מכל איברי הקבוצה) | ||
| − | $m | + | \item $m$ נקרא חסם מלרע של A אם $\forall a\in A:a\geq m$ |
| − | חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A | + | \item חסם מלעיל של A נקרא מקסימום אם הוא שייך לקבוצה A (בעצם המקסימום זה איבר בקבוצה שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה) |
| − | חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A | + | \item חסם מלרע של A נקרא מינימום אם הוא שייך לקבוצה A |
| − | חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו | + | \item חסם מלעיל של A נקרא החסם העליון של A אם אין ל-A חסם מלעיל קטן ממש ממנו, מסמנים אותו $\sup A $ (מהמילה ) |
| − | חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו | + | \item חסם מלרע של A נקרא החסם התחתון של A אם אין ל-A חסם מלרע גדול ממש ממנו, מסמנים אותו $\inf A $ (מהמילה inferior) |
| + | \end{enumerate} | ||
| + | |||
| + | \end{definition} | ||
שימו לב לשלילות הבאות: | שימו לב לשלילות הבאות: | ||
| שורה 24: | שורה 31: | ||
m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו. | m אינו חסם תחתון אם"ם הוא אינו חסם מלרע או שקיים חסם מלרע הגדול ממש ממנו. | ||
| − | + | \begin{remark} | |
| + | מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל (מלרע) קיים חסם עליון (תחתון). | ||
| + | \end{remark} | ||
| − | + | \begin{thm} | |
| − | + | תהי $A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל אזי: | |
| − | + | ||
| − | + | ||
M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$ | M חסם עליון של A אם"ם M חסם מלעיל של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a>M-\epsilon$ | ||
| שורה 35: | שורה 42: | ||
m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$ | m חסם תחתון של A אם"ם m חסם מלרע של A וגם לכל $0<\epsilon\in\mathbb{R}$ קיים $a\in A$ כך ש $a<m+\epsilon$ | ||
| − | + | \end{thm} | |
במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.) | במילים: M חסם עליון אם הוא חסם מלעיל וגם אין חסם מלעיל הקטן ממנו. כלומר, כל מספר הקטן ממנו אינו חסם מלעיל. כלומר, אם נקטין את M בגודל כלשהו שאינו אפס נקבל מספר שאינו חסם מלעיל. מספר אינו חסם מלעיל אם"ם יש איבר בקבוצה הגדול ממנו. (ניסוח דומה עבור החסם התחתון.) | ||
| − | + | \begin{proof} | |
| + | נניח M חסם עליון. מתוך ההגדרה של חסם עליון נובע בפרט ש-M חסם מלעיל. נותר להוכיח כי | ||
| + | $$\forall\epsilon >0\exists a\in A:a>M-\epsilon$$ | ||
| + | נניח בשלילה כי קיים $\epsilon >0$ כל שלכל האיברים $a\in A$ מתקיים $a\leq M-\epsilon$.\\ | ||
| + | לכן, לפי ההגדרה, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל של הקבוצה. מכיוון שאפסילון גדול מאפס, $M-\epsilon$ הוא חסם מלעיל קטן ממש מהחסם העליון $M$, בסתירה לכך שהוא חסם המלעיל הקטן ביותר. | ||
| − | + | \end{thm} | |
| − | + | ||
| − | + | <tex>קוד:זנב</tex> | |
| + | </latex2pdf> | ||
גרסה מ־09:27, 17 בספטמבר 2014
