הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חסמים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 23: | שורה 23: | ||
\begin{example} | \begin{example} | ||
| − | ניקח לדוגמה את $A=\{1,2,3,-5,463\} $ | + | ניקח לדוגמה את |
| + | $$A=\{1,2,3,-5,463\} $$ | ||
$1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ | $1000$ חסם מלעיל של $A$ משום שגדול או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ | ||
גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\ | גם $683$ חסם מלעיל של $A$, מאותה סיבה. \\ | ||
| − | $463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה | + | $463$ הוא חסם מלעיל מיוחד, הוא המקסימום, הוא חסם מלעיל שנמצא בתוך $A$ עצמה, ובעצם גם החסם העליון משום שאם היה חסם מלעיל קטן ממנו, אז הוא היה קטן מ- $463\in A $ , כלומר קטן ממש מאיבר בקבוצה (בעצם כל מקסימום הוא חסם עליון).\\ |
| − | \\ | + | מצד שני\\ |
$-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ | $-5.5 $ חסם מלרע של $A$ משום שקטן או שווה לכל איברי הקבוצה.\\ | ||
$-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון. | $-5 $ גם הוא חסם מלרע של $A$, אך הפעם זהו מינימום משום שזהו חסם מלרע בתוך הקבוצה $A$. באופן דומה למקסימום, בתור מינימום, הוא גם חסם תחתון. | ||
\end{example} | \end{example} | ||
| + | \begin{example} | ||
| + | ניקח את | ||
| + | $$B=\left \{\left ( \frac{1}{10} \right )^n : n\in \mathbb{N} \right \} = \left \{0.1,0.01,0.001,\cdots\right \} $$ | ||
| + | נשים לב ש-$0.1$ חסם מלעיל של הקבוצה, ומשום גם נמצא בתוך הקבוצה הוא מקסימום שלה ומכאן גם חסם עליון.\\ | ||
| + | מה המינימום שלה? נראה שאין כזה ע"י כך שנמצא את החסם התחתון של $B$ ונראה שהוא לא בקבוצה, למרות שמינימום הוא תמיד גם בקבוצה וגם חסם תחתון.\\ | ||
| + | $0$ חסם תחתון של $B$ משום שחסם מלרע וגם אם קיים חסם מלרע גדול יותר, $\varepsilon$ אז מתקיים | ||
| + | $$\forall n :\varepsilon\leq \left ( \frac{1}{10} \right )^n =\frac{1}{10^n}\Rightarrow$$ | ||
| + | $$\forall n : 10^n \leq \frac{1}{\varepsilon} $$ | ||
| + | אבל החלק הימני קבוע והחלק השמאלי יכול להיות גדול כרצוננו (עבור בחירת $n$ מספיק גדול) ולכן קיבלנו שמשהו שגדול כרצוננו קטן ממשהו קבוע וזוהי כמובן סתירה, ומכאן ש-$0$ הוא חסם המלרע הכי גדול.\\ | ||
| + | מצד שני $0\not\in B $ , ולכן אין מינימום. | ||
| + | \end{example} | ||
שימו לב לשלילות הבאות: | שימו לב לשלילות הבאות: | ||
| שורה 44: | שורה 56: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
| − | + | תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ | |
\end{remark} | \end{remark} | ||
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
| + | $-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$ | ||
| + | \end{proof} | ||
| + | |||
| + | \begin{remark} | ||
| + | מאחת ההגדרות של $\mathbb{R} $ מקבלים שלכל $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלעיל קיים חסם עליון. | ||
| + | \end{remark} | ||
| + | |||
| + | \begin{thm} | ||
| + | אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון. | ||
| + | \end{thm} | ||
\begin{thm} | \begin{thm} | ||
גרסה מ־22:29, 17 בספטמבר 2014
