הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:חסמים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 56: | שורה 56: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
| − | תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ | + | תהי $A\subseteq \mathbb{R} $ ונגדיר $B=\{-a : a\in A\} $. אזי $M $ חסם מלעיל של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם מלרע של $B$ ובנוסף $M$ חסם עליון של $A$ אם ורק אם $-M$ חסם תחתון של $B$. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
| − | $-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$ | + | \begin{enumerate} |
| + | \item $-M$ חסם מלרע של $B$ אם ורק אם $\forall b \in B : -M\leq b $ אם ורק אם $\forall a\in A : -M\leq -a $ אם ורק אם $\forall a\in A : a\leq M $ אם ורק אם $M$ חסם מלעיל של $A$ | ||
| + | \item נניח $M$ חסם עליון של $A$, בפרט הוא חסם מלעיל ולכן $-M$ חסם מלרע של $B$. כעת נניח בשלילה שקיים חסם מלרע $m\geq -M $, ולכן $-m\leq M $ חסם מלעיל של $A$ בסתירה לכך ש- $M$ חסם המלעיל הכי קטן שלו, ולכן אין חסם מלרע גדול מ- $-M$ ואז הוא חסם תחתון. את הכיוון השני מוכיחים באופן דומה. | ||
| + | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
| שורה 70: | שורה 73: | ||
אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון. | אם $\Phi \neq A\subseteq\mathbb{R}$ חסומה מלרע אזי קיים חסם תחתון. | ||
\end{thm} | \end{thm} | ||
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
| + | תהי $A$ לא ריקה חסומה מלרע. אם נגדיר את $B$ כמו במשפט האחרון נקבל שהיא חסומה מלעיל לפי המשפט, ומההערה יש לה חסם עליון $M$. מאותו המשפט, נקבל ש- $-M$ חסם תחתון של $A$ ולכן הוכחנו שיש לה חסם תחתון. (מצאנו אותו) | ||
| + | \end{proof} | ||
\begin{thm} | \begin{thm} | ||
גרסה מ־23:16, 17 בספטמבר 2014
