הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:טורים"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "<latex2pdf> <tex>קוד:ראש</tex> \subsection{מהו טור} \underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
\subsection{מהו טור} | \subsection{מהו טור} | ||
\underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר. | \underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר. | ||
| שורה 11: | שורה 8: | ||
\underline{הוכחה:} ישירות מאריתמטיקה של גבולות | \underline{הוכחה:} ישירות מאריתמטיקה של גבולות | ||
| + | $\\$ | ||
| + | \underline{מבחן קושי:} הטור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ מתכנס אם ורק אם $\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n>m>N}: |\sum_{k=m}^n a_k |<\epsilon $ | ||
| + | \underline{הסבר:} בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. | ||
| + | $\\$ | ||
| + | \underline{משפט:} אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $ | ||
| − | + | \underline{הוכחה:} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $ | |
| − | + | ||
גרסה מ־11:25, 16 באוגוסט 2014
\subsection{מהו טור} \underline{הגדרה:} תהי סדרה $\{a_n\}_{n=1}^{\infty} $ . נגדיר את הסדרה $s_k=\sum_{n=1}^k a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ , אז $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מוגדר להיות $\lim_{k\to\infty} s_k $ . במקרה כזה, $s_k$ נקראת סדרת הסכומים החלקיים של הטור (או בקיצור הסס"ח). אם הגבול הזה קיים אומרים שהטור מתכנס, ואחרת אומרים שהוא מתבדר. $\\$ דוגמה: הצגה עשרונית - $\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} $ כש- $a_n\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ . זה מתכנס משום שהסס"ח היא סדרת קושי.
\subsection{תכונות בסיסיות של טורים} \underline{משפט:} נניח הטורים $ \sum_{n=1}^\infty a_n ,\sum_{n=1}^\infty b_n $ מתכנסים אזי $ \sum_{n=1}^\infty \alpha a_n+\beta b_n = \alpha\sum_{n=1}^\infty a_n+\beta \sum_{n=1}^\infty b_n$ .
\underline{הוכחה:} ישירות מאריתמטיקה של גבולות $\\$ \underline{מבחן קושי:} הטור $\sum_{n=1}^{\infty} a_n $ מתכנס אם ורק אם $\forall_{\epsilon>0}\exists_N \forall_{n>m>N}: |\sum_{k=m}^n a_k |<\epsilon $
\underline{הסבר:} בעצם התנאי בצד שמאל זה פשוט ההגדרה ש- $s_n$ סדרת קושי, וכידוע סדרה היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. $\\$ \underline{משפט:} אם $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס אזי $\lim_{n\to \infty} a_n = 0 $
\underline{הוכחה:} נראה כי $a_n=s_n-s_{n-1} $ ואז מאריתמטיקה של גבולות, $\lim_{n\to \infty} a_n = \sum_{n=1}^\infty a_n - \sum_{n=1}^\infty a_n = 0 $
