הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן אבל להתכנסות טורים"
מתוך Math-Wiki
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה,...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
| + | יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס. | ||
| + | \end{thm} | ||
| − | \ | + | \begin{proof} |
| − | + | $b_n$ מונו' וחסומה ולכן מתכנסת לגבול $L$. נניח בה"כ ש- $b_n$ מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים | |
| − | $\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $ | + | $$\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $$ |
| + | הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס. | ||
| + | \end{proof} | ||
גרסה מ־12:20, 3 בספטמבר 2014
\begin{thm} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס. \end{thm}
\begin{proof} $b_n$ מונו' וחסומה ולכן מתכנסת לגבול $L$. נניח בה"כ ש- $b_n$ מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה באופן דומה) ואז מתקיים $$\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $$ הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס. \end{proof}
