קוד:מבחן אבל להתכנסות טורים
מתוך Math-Wiki
גרסה מ־22:53, 16 באוגוסט 2014 מאת Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה,...")
\underline{משפט:} יהי הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- $\sum_{n=1}^\infty a_n $ מתכנס ו- $b_n $ מונוטונית וחסומה, אזי הטור מתכנס.
\underline{הוכחה:} $b_n$ מונו' וחסומה ולכן מתכנסת לגבול $L$. נניח בה"כ ש- $b_n$ מונוטונית יורדת (ואם היא עולה נעשה פעולה אנלוגית) ונראה כי
$\sum a_n b_n = \sum a_n (b_n-L+L) = \sum a_n (b_n-L) + L\sum a_n $ . הטור הראשון מתכנס לפי דיריכלה והשני נתון שהוא מתכנס, אז הטור הוא סכום של מתכנסים ולכן מתכנס.
