הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן דיריכלה להתכנסות טורים"
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) (יצירת דף עם התוכן "\underline{משפט:} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה. ב. $a_n \searrow 0 $ (יור...") |
Ofekgillon10 (שיחה | תרומות) |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
| − | \ | + | \begin{thm} |
| + | יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש- | ||
א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה. | א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה. | ||
| שורה 7: | שורה 8: | ||
אזי הטור מתכנס | אזי הטור מתכנס | ||
| − | + | \end{thm} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ). נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש- $S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $ (סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון: | + | \begin{remark} |
| + | המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה $(-1)^n c_n $ כש- $c_n$ יורדת מונו' ל-$0$ וקל לראות שהסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n $ חסומה. | ||
| + | \end{remark} | ||
| + | |||
| + | \begin{proof} | ||
| + | באמצעות קריטריון קושי\\ | ||
| + | נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ).\\ | ||
| + | נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש- | ||
| + | $$S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $$ | ||
| + | (סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון: | ||
$\sum_{k=0}^n |B_k (a_k-a_{k+1})| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס. | $\sum_{k=0}^n |B_k (a_k-a_{k+1})| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס. | ||
| + | \end{proof} | ||
גרסה מ־12:17, 3 בספטמבר 2014
\begin{thm} יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ונניח ש-
א. הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty b_n $ חסומה.
ב. $a_n \searrow 0 $ (יורדת מונוטונית ל-0)
אזי הטור מתכנס
\end{thm}
\begin{remark} המשפט הזה מכליל את מבחן לייבניץ, שם האיברים הם מהצורה $(-1)^n c_n $ כש- $c_n$ יורדת מונו' ל-$0$ וקל לראות שהסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n $ חסומה. \end{remark}
\begin{proof} באמצעות קריטריון קושי\\ נסמן את הסס"ח של $\sum b_n $ בתור $B_n$ (מתקיים ש- $B_n-B_{n-1}=b_n$ ).\\ נסמן את הסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n $ ב- $S_n$ ואז מתקיים ש- $$S_n = a_{n+1} B_n + \sum_{k=0}^n B_k (a_k-a_{k+1}) $$ (סכום טלסקופי). כיוון ש- $B_n$ חסומה ו- $a_{n+1}$ שואפת ל-0 , כל הביטוי השמאלי שואף ל-0. מצד שני, $a_n$ מונוטונית יורדת ולכן $a_k - a_{k+1} \geq 0 $ ומותר להשתמש במבחן ההשוואה הראשון:
$\sum_{k=0}^n |B_k (a_k-a_{k+1})| \leq M \sum_{k=0}^n a_k-a_{k+1} $ וזהו טור טלסקופי ששואף ל- $M a_0 $ ולכן מתכנס. ממבחן ההשוואה נקבל שהחלק הימני של המשוואה של $S_n$ מתכנס גם הוא ולכן הטור מתכנס. \end{proof}
