שינויים

\underlinebegin{משפט:thm} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת). \\אזי הטור הזה והטור $\sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k $ חברים.$\\$דוגמה: הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור $\sum_end{k=0thm}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1 $ וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:

$\sum_begin{n=1}^\infty \frac{1}{n^pexample} הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור$ מתכנס אם ורק אם $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k)^p} \cdot 2^k $ מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $(2^= \sum_{1-p})^k $ , כלומר סדרה הנדסית. טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-=1$ ל- $1$ , ומכאן שצריך להתקיים $2^{1-p}<1=2^0 $ . זה קורה אם ורק אם $\infty 1-p<0 $ וזה קורה אם ורק אם $p>1$$\\$\underline{הוכחת וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוילהגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:}

לשם הפשטות נקרא לסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n \frac{1}{n^p} $ בשם $A_n$ ולסס"ח של מתכנס אם ורק אם $\sum_{nk=0}^\infty a_\frac{1}{(2^nk)^p} \cdot 2^n k $ בשם מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $S_n(2^{1-p})^k $, כלומר סדרה הנדסית. כעת\\טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-1$ ל- $1$ , מצד אחד:ומכאן שצריך להתקיים $2^{1-p}<1=2^0 $ . זה קורה אם ורק אם $1-p<0 $ וזה קורה אם ורק אם $p>1$\end{example}

$S_n=a_1+2a_2+4a_4+\cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq \\ a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_begin{2^n - 1proof} $

 $$S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq\\ $$$$a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1 $$

אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- \\$S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. משל$\end{proof} \$begin{remark}הערה חשובה: אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה $$x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{89} ,\cdots $ . $במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. נניח בשלילה שמתכנסכי אם נגדיר $$y_n=1, \frac{1}{2},0,\frac{1}{4},0,0,0,\frac{1}{8},0,\cdots $$אז $\sum y_n $ הוא בעצם טור הנדסי (מלבד הרבה אפסים שדחפו "באמצע") ולכן מתכנס. כעת נראה ש-$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $ כש- $y_n=\frac{1}{n}-x_n $ ו- ואז אם $\sum y_n x_n $ הוא "כמעט" טור הנדסי (עד כדי הרבה אפסים) ולכן מתכנס ואז גם הטור ההרמוני הוא סכום של טורים מתכנסים, סתירה!יתכנס ופה הסתירה.\end{remark}