הבדלים בין גרסאות בדף "קוד:מבחן העיבוי לטורים"

גרסה מ־14:38, 16 באוגוסט 2014

\underline{משפט:} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ כך ש- $\forall n : 0\leq a_{n+1}\leq a_n $ (כלומר $a_n$ מונוטונית יורדת). אזי הטור הזה והטור $\sum_{k=0}^\infty a_{2^k} \cdot 2^k $ חברים. $\\$ דוגמה: הטור ההרמוני הוא טור שאיבריו מהווים סדרה מונוטונית יורדת, ולכן חבר של הטור $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k}\cdot 2^k = \sum_{k=1}^\infty 1 $ וברור שהטור הזה מתבדר. האמת שאפשר עם מבחן העיבוי להגיע לתוצאה יותר כללית עכשיו:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס אם ורק אם $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2^k)^p} \cdot 2^k $ מתכנס, אבל האיבר הכללי של הטור הוא בעצם $(2^{1-p})^k $ , כלומר סדרה הנדסית. טור הנדסי מתכנס אם ורק אם היחס בין איבריו הוא בין $-1$ ל- $1$ , ומכאן שצריך להתקיים $2^{1-p}<1=2^0 $ . זה קורה אם ורק אם $1-p<0 $ וזה קורה אם ורק אם $p>1$ $\\$ \underline{הוכחת מבחן העיבוי:}

לשם הפשטות נקרא לסס"ח של $\sum_{n=1}^\infty a_n $ בשם $A_n$ ולסס"ח של $\sum_{n=0}^\infty a_{2^n} \cdot 2^n $ בשם $S_n$. כעת, מצד אחד:

$S_n=a_1+2a_2+4a_4+\cdots=a_1+(a_2+a_2)+(a_4+a_4+a_4+a_4)\geq \\ a_1+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)=A_{2^n - 1} $

(השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

ומצד שני

$S_n=a_1+2\cdot \sum_{k=1}^n a_{2^k} \cdot 2^{k-1}=a_1+2[a_2+(a_4+a_4)+(a_8+a_8+a_8+a_8)+\cdots]\leq\\ a_1+2[a_2+(a_3+a_4)+(a_5+a_6+a_7+a_8)+\cdots]=2A_{2^n} - a_1 $

(גם פה השתמשנו בעובדה שהסדרה מונו' יורדת)

לסיכום: $A_{2^n - 1} \leq S_n \leq 2A_{2^n} - a_1 $

אם $A_n$ סדרה מתכנסת ל- $C$ אז נקבל (מכך שהסדרה $A_n$ מונוטונית עולה) ש- $S_n \leq 2C- a_1 $, כלומר חסומה מלעיל, ולכן מתכנסת. מאי השיוויון שקיבלנו אפשר לקבל את הכיוון בשני של הטענה באופן דומה. משל $\\$ הערה חשובה: אם הסדרה לא מונו' יורדת, המשפט לא יתקיים. דוגמה די מאולצת היא הסדרה $x_n=0,0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{5},\frac{1}{6},\frac{1}{7},0,\frac{1}{8} $ . במקרה הזה $S_n=0 $ ולכן ברור שהטור "המתאים" שלה מתכנס, אבל הטור לא מתכנס. נניח בשלילה שמתכנס, אז $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty x_n + \sum_{n=1}^\infty y_n $ כש- $y_n=\frac{1}{n}-x_n $ ו- $\sum y_n $ הוא "כמעט" טור הנדסי (עד כדי הרבה אפסים) ולכן מתכנס ואז הטור ההרמוני הוא סכום של טורים מתכנסים, סתירה!