\underlinebegin{משפט:thm} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים:\begin{enumerate}\item אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר
1. \item אם $q><1 $ (גם אינסופי זה בסדר) אז הטור מתבדרמתכנס\end{enumerate}\end{thm}
2. אם $q<1 $ אז הטור מתכנס\begin{proof}
\underlinebegin{הוכחה:enumerate}
1. \item גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- $$\exists_{exists k_0} \forall_{forall k>k_0} : \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $ $ולכן $\forall_{forall k>k_0} : a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.
2. \item $\exists_{exists n_0} \forall_{forall n>n_0} : \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן \\$\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו.\end{enumerate}\end{proof}
$\\$begin{example}דוגמה: כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות.\end{example}