קוד:מבחן השורש של קושי להתכנסות טורים

\begin{thm} נתון הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נסמן $\overline{\lim_{n\to\infty}} \sqrt[n]{a_n} = q $ אזי מתקיים: \begin{enumerate} \item אם $q>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתבדר

\item אם $q<1 $ אז הטור מתכנס \end{enumerate} \end{thm}

\begin{proof}

\begin{enumerate}

\item גבול עליון הוא גבול חלקי, ולכן קיימת תת סדרה כך ש- $$\exists k_0 \forall k>k_0 : \sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1 $$ ולכן $\forall k>k_0 : a_{n_k}>1 $ ואז $a_n\not\to 0 $. כלומר הטור לא יכול להתכנס.

\item

$\exists n_0  \forall n>n_0 : \sqrt[n]{a_n} < q' $ עבור $q<q'<1 $ ולכן\\

$\forall_{n>n_0} a_n < q'^n $ . ממבחן ההשוואה הראשון משום ש- $\sum q'^n $ מתכנס אז גם הטור שלנו. \end{enumerate} \end{proof}

\begin{example} כמו במבחן דלאמבר, גם פה הטור $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} $ מתכנס/מתבדר כתלות ב- $p$ אבל הגבול הרצוי ממבחן השורש של קושי הוא 1, מה שמראה שגבול 1 לא מבטיח התכנסות ולא התבדרות. \end{example}