שינויים

\underlinebegin{משפט:thm} נתון טור $\sum_{n=1}^\infty a_n $ שכל איבריו חיוביים. נניח שקיים $$\lim_{n\to \infty} \frac{-\ln(a_n)}{\ln(n)} =\lim_{n\to \infty} \log_n \frac{1}{a_n} = \alpha $ $(אם הטור הזה מועמד להתכנסות אז האיבר הכללי שואף ל-0 ולכן אפשר לראות שבכל מקרה $\alpha $ חייב להיות חיובי במקרה זה). \begin{enumerate}\item אם $\alpha>1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתכנס

1. \item אם $\alpha><1 $ (גם אינסופי זה בסדר) הטור מתכנסמתבדר\end{enumerate}\end{thm}

2. אם \begin{proof}\begin{enumerate}\item $\exists_{n_0} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' $ עבור $1<\alpha'<\alpha $ .\\קיבלנו $\frac{1 }{a_n}>n^{\alpha'} $ ואז כמובן $\frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n $ והטור $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} $ מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, הטור מתבדרשלנו מתכנס

\underlineitem ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח $\alpha<\alpha'<1 $ ונקבל טור שהוכחנו שהוא מתבדר כשדיברנו על מבחן העיבוי.\end{הוכחה:enumerate}\end{proof}

1. $\exists_begin{n_0example} \forall_{n>n_0} : \log_n \frac{1}{a_n} >\alpha' $ עבור $1<\alpha'<\alpha $ . קיבלנו $\frac{1}{a_n}>n^{\alpha'} $ ואז כמובן $\frac{1}{n^{\alpha'}} > a_n $ והטור $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n^{\alpha'}} $ מתכנס (הוכחנו כשדיברנו על מבחן העיבוי) ולכן, ממבחן ההשוואה הראשון, האם הטור שלנו הבא מתכנס 2. ההוכחה אנלוגית ממש רק שניקח $\alpha<\alpha'<1 $ ונקבל טור שהוכחנו שהוא או מתבדר כשדיברנו על מבחן העיבוי.?$\\$דוגמה: $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^{\ln(\ln(n))}} $ מתכנס או מתבדר? $פתרון: נראה כי $\lim_{n\to\infty} \log_n (n^{\ln(\ln(n))}) = \lim_{n\to\infty} \ln(\ln(n))=\infty $ ולכן ממבחן לוגריתמי הטור מתכנס\end{example}