קוד:מיון נק' אי רציפות

\begin{definition} נניח $f:A\to \mathbb{R} $ לא רציפה ב-$a$ (במקרה הזה נהוג להגיד ש- $a$ נק' אי רציפות) ואז לא נכון לומר שקיים $\lim_{x\to a} f(x) $ ששווה ל- $f(a)$ . במקרה הזה קיימות 3 אפשרויות:

1. קיים הגבול $\lim_{x\to a} f(x) $ (ובפרט קיימים הגבולות החד צדדיים והם שווים) אבל הוא שונה מ-$f(a)$ . במקרה זה אומרים ש-$a$ נק' אי רציפות סליקה (או "סוג אפס").

2. לא קיים הגבול, אבל קיימים הגבולות החד צדדיים $\lim_{x\to a^+} f(x) , \lim_{x\to a^-} f(x) $ (ואז זה אומר שהם שונים). במקרה הזה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג ראשון.

3. לפחות אחד הגבולות החד צדדיים לא קיים. במקרה זה אומרים ש- $a$ נק' אי רציפות מסוג שני \end{definition}

\begin{theorem} לפונקציה מונוטונית $f:(a,b)\to \mathbb{R} $ יכולות להיות נק' אי רציפות מסוג ראשון בלבד \end{theorem}

\begin{proof} נניח בה"כ ש- $f$ מונוטונית עולה ונראה כי $\lim_{x\to x_0^-} f(x) = \sup_{x\in (a,x_0)} f(x)\leq f(x_0) , \lim_{x\to x_0^+} f(x)=\inf_{x\in (x_0,b)}\geq f(x_0)$ ולכן הגבולות החד צדדיים קיימים.

אבל אם הם שווים ושונים מ- $f(x_0)$ נגיע לסתירה משום שאם נניח בה"כ ש- $\lim_{x\to x_0} f(x) > f(x_0) $ אז קיים $\delta $ כך ש- $\forall x : 0<x_0-x<\delta $ מתקיים ש- $(\lim_{x\to x_0} f(x)) - f(x) \leq (\lim_{x\to x_0} f(x))-f(x_0) \Rightarrow f(x_0)\leq f(x) $ למרות ש- $x<x_0$ וזה בסתירה למונוטוניות של $f$ \end{proof}