נניח איש אחד נסע ממקום א' למקום ב' ונגדיר פונקציה $f(t) $ שעבור זמן $t$ נותנת את המיקום של האיש. המהירות הממוצעת שלו בין $t=a $ ל- $t=b $ מוגדרת להיות כמה התקדמם בזמן הזה חלקי כמה זמן עבר, כלומר $v=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $ . אבל זה נותן לנו את המהירות הממוצעת בקטע יחסית ארוך, מה קורה אם נרצה לדעת את המהירות בזמן ספציפי $t_0 $ ? \\נצטרך למצוא את המהירות הממוצעת בקטעים הולכים ומתהדקים סביב $t_0 $ (בהתחלה נבדוק את המהירות הממוצעת בין דקה לפני לדקה אחרי ואז את המהירות הממוצעת בין שנייה לפני לשנייה אחרי ואז את המהירות הממוצעת בין חצי שנייה לפני לחצי שנייה אחרי...) והגבול שלהם מוגדר להיות המהירות בזמן $t_0 $ . מאיך שניסחנו את זה אפשר להבין ש- $$v(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0-\Delta t)}{(t_0+\Delta t)-(t_0-\Delta t)} $ או באופן שקול לחלוטין אפשר $אם כי ההגדרה הזאת לפעמים עלולה להביא לבעיות מסוימות. הגדרה טובה יותר תהיה לבדוק את המהירות הממוצעת בקטעים שמתחילים ב- $t_0 $ ומסתיימים ב- $t_0+\Delta t $ ולהשאיף את $\Delta t $ ל-$0 $ ולקבל הגדרה שקולהאת ההגדרה: $$v(t_0)= \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0)}{(t_0+\Delta t)-t_0} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{f(t_0+\Delta t) - f(t_0)}{\Delta t} = \lim_{t\to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} $ , $כל אלה נתנו הגדרות שקולות למושג מהירות נקודתית שזה כמו קצב השינוי במיקום ליחידת זמן מאוד קטנה. באופן כללי, רוב הפעמים אנחנו נתקל בפונקציות שההשתנות שלהן אינן קבועה, ולכן נוח להגדיר את המושג שמתאר את השינוי ליחידת "זמן", הנגזרת.
\begin{definition}
נניח $f$ מוגדרת בסביבת $x_0 $ וקיים הגבול $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $ אז הגבול הזה מוגדר להיות הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0 $ ומסמנים $f'(x_0) $ או $\frac{df}{dx} (x_0) $ .
נניח $f$ מוגדרת בסביבת $x_0 $ וקיים הגבול $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $ אז הגבול הזה מוגדר להיות הנגזרת של $f$ בנקודה $x_0 $ ומסמנים $f'(x_0) $ או $\frac{df}{dx} (x_0) $ .
\end{definition}
דוגמה:\begin{example}
נגזרת של ישר $f(x)=mx+n $ בנקודה $a$ תהיה $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a} \frac{mx+n-ma-n}{x-a} = m $ $ללא תלות בנקודה $a$!$\\$end{example}דוגמה:\begin{example}
$$f(x)=\sin x \Rightarrow f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2\sin\frac{\Delta x}{2} \cos(x+\frac{\Delta x}{2}) }{\Delta x}=$$
$$\{\Delta x'=\frac{\Delta x}{2}\} = \lim_{\Delta x'\to 0} \frac{2\sin \Delta x' \cos (x+\Delta x')}{2\Delta x'} =\lim_{\Delta x'\to 0} 1\cdot \cos (x+\Delta x') = \cos (x)$$
$\\$end{example}דוגמה:\begin{example}
$$f(x)=e^x \Rightarrow f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{x+\Delta x} - e^x}{\Delta x} = e^x \lim_{\Delta x\to 0} \frac{e^{\Delta x} - 1}{\Delta x}= e^x \cdot 1 = e^x $$
\end{example} דיון: נשים לב שמתקיים הדבר הבא:$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-k = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0) - k (x-x_0)}{x-x_0} = 0$$נקבל אז ש- $f(x)-f(x_0)-k(x-x_0) = o(x-x_0)_{x\to x_0} $ ומכאן$$f(x)=f(x_0)+k (x-x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $$ .אם נחליף את המשתנים: $t=x-x_0 $ נקבל ש- $f(x_0+t)=f(x_0)+kt+o(t)_{t\to 0} $ .\\
\begin{definition}
נשים לב ש-הדיפרנציאל של $\\f$בנקודה $x_0 $ היא פונקציה לינארית $\lim_df_{x\to x_0} \frac{f(x)-$ שמקיימת$$f(x_0+t)}{x-x_0}-k = 0 \Leftrightarrow \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0) - k (x-x_0)}+df_{x-x_0} = 0$ נקבל אז ש- $f(xt)-f(x_0)-k(x-x_0) = + o(x-x_0t)_{xt\to x_00} $ ומכאן $ לא תמיד קיים דיפרנציאל, וכשהוא קיים אומרים ש- $f(x)=$ דיפרנציאבילית. במילים אחרות $f(x_0)+k (x-x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $ . דיפרנציאבילית אם נחליף את המשתנים: קיים $t=x-x_0 k$ נקבל כך ש- $$f(x_0+t)=f(x_0)+kt+o(t)_{t\to 0} $ . נגדיר את הפונקציה הלינארית $t\to kt $ בתור הדיפרנציאל של $f$ בנקודה $x_0 $, זאת אומרת $df_end{x_0definition} (t) = kt $, אבל ההמשך דיון:אם קיים דיפרנציאל אז ראינו מתחילת הדיון שה-$k$ היחיד שמתאים לפי ההגדרה זה $f'(x_0) $ ומכאן ש- $df_{x_0} (t) = f'(x_0) t $ , באופן כללי ניתן .\\דרך נוספת להסתכל על זה היא לרשום $\underset{\text{change } \text{in f}f}{\underbrace{f(x_0+t)-f(x_0)}} = kt + o(t)_{t\to 0} $ . נגיד ש- $f$ דיפרנציאבילית ב- $x_0 $ אם קיימת פונקציה לינארית $df_{x_0} $ כך ש- $f(x_0+t)-f(x_0)=df_{x_0}(t)+o(t)_{t\to 0} $ . כלומר השינוי ב- $f$, מאוד קרוב ל- $x_0 $ נראה בקירוב כמו פונקציה לינארית. כל זה נראה מאוד מוזר ומיותר, ואכן אין לזה הרבה מאוד משמעות בפונקציות שנתקל בהן בקורס הזה, אך ההגדרות האלה חשובות ונדבר עליהם בהרחבה שנה הבאה בפונקציות בכמה משתנים.\\כמו כן, אם נסתכל על הדיפרנציאל של $x$ בנקודה $x_0 $ נקבל ש- $dx_{x_0}(t)=1\cdot t = t $ וידוע ש- $df_{x_0}(t)=f'(x_0)\cdot t $ ולכן אפשר לראות שכמו שסימנו קודם, באמת מתקיים ש- $\frac{df}{dx} = f'(x)$
\end{definition}
\begin{definition}
תהי $f$ פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה $x_0 $ אז הפונקציה $$p(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x-x_0) $ $נקראת הישר המשיק לפונקציה $f$ בנקודה $x_0 $ (בעצם אמרנו קודם שהשינוי ב- $f(x)=f(x_0)+df_{x_0} (x$ מתנהג קרוב ל-$x_0) + o(x-x_0)_{x\to x_0} $ אז "הזנחנו" את השגיאה ונשארנו עם כמו פונקציה לינארית והמשיק זה אותו ישר שמתנהג בערך כמו הפונקציה בסביבה קרובה של מתאים שעובר דרך $f(x_0 ) $)
\end{definition}